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##AcWing 196. 质数距离

一、题目描述

给定两个整数 L 和 U，你需要在闭区间 [L,U] 内找到距离最接近的两个相邻质数 C_1 和 C_2（即 C_2−C_1 是最小的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

同时，你还需要找到距离最远的两个相邻质数 D_1 和 D_2（即 D_1−D_2 是最大的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

输入格式

每行输入两个整数 L 和 U，其中 L 和 U 的差值不会超过 10^6。

输出格式

对于每个 L 和 U，输出一个结果，结果占一行。

结果包括距离最近的相邻质数对和距离最远的相邻质数对。（具体格式参照样例）

如果 L 和 U 之间不存在质数对，则输出 There are no adjacent primes.。

数据范围

1≤L<U≤2^{31}−1

输入样例

2 17
14 17

输出样例

2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

二、二次筛法

这里的区间范围给定的最大值是2^{31} - 1,而用线性筛法求的是[1,n]中的所有质数，因此直接用线性筛法求肯定会直接挂掉，因此需要通过挖掘某些性质，才能完成。

1.挖掘性质

• 性质1 若一个数n是一个合数，必然存在2个因子d,\large \frac{n}{d}，假设d <=\frac{n}{d}，则d <= \sqrt{n}，因此必然存在一个小于等于 \sqrt{n}的因子

• 性质2 若x∈[L,R],且x是合数，则一定存在P <= \sqrt{2^{31}-1} (< 50000)，使得P能整除x，其中P < x。 \sqrt{2147483647}=46340,这个值是小于50000的，所以，yxc老师一般喜欢使用直接写上上限值50000,就是因为这个数字够用，而且够大，好记。

2.实现步骤

• 找出1 \sim \sqrt{2^{31}-1} (< 50000)中的所有质因子
• 对于1 \sim 50000 中每个质数P，将[L,R]中所有P的倍数筛掉(至少2倍,1倍的就是自己，是质数不是合数) 找到大于等于L的最小的P的倍数P_0，找下一个倍数时只需要+= P即可

3.引理

在寻找大于L的第一个P的倍数时，采用了下面的引理： 引理(分数的上取整转换下取整)

4.细节

Q: 每个质数是2\sim 50000中的数，为啥 LL p = primes[i]; 这里的p的LL啊， int 不就够了吗？ A: LL p = primes[i]，这里p用LL是因为如果p也是用int类型，本身l也是用int类型，如果l取得足够大，下面的l + p - 1会有可能直接爆int 变成负数

Q: for (LL j = max(p * 2, (l + p - 1) / p * p); j <= r; j += p) 这里的 j 是小于等于 r 的，而 r 的取值范围是小于2 ^ {31}，也是在int 范围内啊， 这里为啥用LL啊？ A: 这里的 j 是小于等于 r 的，而 r 的取值范围是小于2 ^ {31},这里确实是这样，可是这个循环跳出的条件是j <= r，也就是说如果r是最大的int，那么当j += p，要超过最大的int的时候需要比它还大才能跳出循环，因此直接爆int变成负数，然后j <= r依然成立，会一直死循环下去。其实本质上这个问题与问题1是一回事，在做数论时一次要小心LL和int的加法、乘法，小心爆int是一条死规则，尽量多想想是不是应该用LL来设置变量~

Q: 为什么要写上常数50000呢？ A:

• 写法1: get_primes(50000)
• 写法2: get_primes(sqrt(r))
• 写法3: get_primes(sqrt(INT32_MAX))
  其实都行，但有了经验后，发现，直接写50000最简单粗暴效果好~

Q: 为什么要使用偏移量st[j - l] = true? A: 因为数据范围太大，直接用数组进行桶计数，会超空间，需要离散化一下，就是把1e6范围内的数据映射到0\sim 1e6

Q:为什么for (int i = 1; i < cl; i++) 这里要用cl-1呢？为什么不是cl呢？ A:cl个质数，下标是[1,cl],因为现在枚举的是前一个质数，要保证还有后一个，所以取不到cl

5.时间复杂度

O(n)

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

// 线性筛
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n) {
    memset(primes, 0, sizeof primes);
    memset(st, 0, sizeof st);
    cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

bool b[N];    // 记录区间内有哪些数是合数
int c[N], cl; // 区间内有哪些质数
int l, r;     // 区间范围

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);

    // 一次性筛质数
    get_primes(50000);

    while (cin >> l >> r) {
        memset(b, 0, sizeof b); // 清除合数数组
        memset(c, 0, sizeof c); // 清除质数数组
        cl = 0;

        // 标识质数的倍数，也就是合数有哪些
        for (int i = 0; i < cnt; i++) {
            LL p = primes[i];
            for (LL j = max(p * 2, (l + p - 1) / p * p); j <= r; j += p) // 枚举p的2倍以上倍数，最小要比l大，最大不能超过r
                b[j - l] = true;                                         // 采用偏移量记录剔除标识
        }

        // Hack data: 1 100
        // 输出： 1,2 are closest, 89,97 are most distant.
        // 答案： 2,3 are closest, 89,97 are most distant.
        // 原因： 下面的逻辑判断b[i]是否等于0，表示i+l不是某个质数的倍数（合数），也就是是合数，但这样判断是有问题的，因为考虑边界问题
        // 1通过上面的代码是无法剔除掉的，也就是说，上面的剔除的是合数，但数字除了合数，可不是只有质数，还有一个特殊的数字1，1即不是质
        // 数也不是合数,这句话可不是说说而已。
        for (int i = 0; i <= r - l; i++)
            if (!b[i] && i + l > 1) // 如果不是合数，并且，不是1，才是质数
                c[++cl] = i + l;    // 区间内的质数多了一个i+l质数

        if (cl < 2)
            puts("There are no adjacent primes.");
        else {
            int mi = 1, mx = 1;            // 第一只猴子就是大王
            for (int i = 1; i < cl; i++) { // 范围是1~cl,而此处因为要枚举的是每个当前i与后一个的关系，所以需要枚举到cl-1
                int d = c[i + 1] - c[i];
                if (d < c[mi + 1] - c[mi]) mi = i;
                if (d > c[mx + 1] - c[mx]) mx = i;
            }
            printf("%d,%d are closest, %d,%d are most distant.\n", c[mi], c[mi + 1], c[mx], c[mx + 1]);
        }
    }
    return 0;
}