python/TangDou/AcWing/MonotonicQueue/1088.md

AcWing 1088 旅行问题

一、题目描述

John 打算驾驶一辆汽车周游一个环形公路。

公路上总共有 n 个车站，每站都有若干升汽油（有的站可能油量为零），每升油可以让汽车行驶一千米。

John 必须从某个车站出发，一直按顺时针（或逆时针）方向走遍所有的车站，并回到起点。

在一开始的时候，汽车内油量为零，John 每到一个车站就把该站所有的油都带上（起点站亦是如此），行驶过程中不能出现没有油的情况。

任务：判断以每个车站为起点能否按条件成功周游一周。

输入格式 第一行是一个整数 n，表示环形公路上的车站数；

接下来 n 行，每行两个整数 p_i,d_i，分别表示表示第 i 号车站的存油量和第 i 号车站到 顺时针方向 下一站的距离。

输出格式 输出共 n 行，如果从第 i 号车站出发，一直按顺时针（或逆时针）方向行驶，能够成功周游一圈，则在第 i 行输出 TAK，否则输出 NIE。

数据范围 3≤n≤10^6,0≤p_i≤2×10^9,0≤d_i≤2×10^9

输入样例：

5
3 1
1 2
5 2
0 1
5 4

输出样例：

TAK
NIE
TAK
NIE
TAK

二、题意理解

给定一个 环，环 上有 n 个节点，编号从 1∼n，以及一辆小车车

每一个 节点 i 有一个 权值 p_i 表示当车 到达该点 时，可以 获得 的 油量

还有一个 权值 d_i 表示当车从 节点 i 到 节点 i+1 所需要 消耗 的 油量

现有一辆车想从环上 任意点 出发，顺时针 或 逆时针 绕环一圈走回起点

行驶的过程中，油量不能为 负数，初始油量 为 起点 处所能获得的 油量

判断能否完成 环圈行驶

三、暴力做法

看示例：

5
3 1
1 2
5 2
0 1
5 4

用测试用例进行模拟，加快对题目理解：

1、理解题意

1->(1)->2->(2)->3->(2)->4->(1)->5 ->(4) ->1 3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5

• 第一行，无(\ )的数字为加油站序号
• 第一行，( \ )中为在行走过程中消耗的油量:d[i-1]
• 第二行的数字：每个节点可以补充的油量:p[i-1]

Q_1:为什么是p[i-1],d[i-1]，而不是p[i],d[i]呢？ 答:以2号节点为例，到达了2，还没有加上2号站点的油之前，此时剩余油量为3-1=2,即p[1]-d[1]=3-1=2。

总结：

• 顺时针到达i时
  • d[i-1]:从i-1走到i的石油消耗量
  • p[i-1]:从i-1点获取到的石油量
• 逆时针到达i时
  • d[i]:从i+1走到i的石油消耗量
  • p[i+1]:从i+1点获取到的石油量

Q_2:为什么逆时针是d[i]?按对称来讲，不是应该是d[i+1]吗？ 答：这个细节挺有意思，d[i]中保存的是i->i+1这段路需要消耗掉的油量，也可以理解为反向从i+1->i消耗的油量，是一样的。如果写在d[i+1]就不是这个意思了，表示从i+1->i+2消耗的油量，细节决定成败啊！

2、前缀和优化

s[i]：从1号节点出发，到达i号节点，还未取得i号节点的油量前，剩余油量

\large s[i]=s[i-1]+p[i-1]-d[i-1]

其中p[i-1]-d[i-1]为变化量。

3、【特殊情况】从1号点出发

模拟从1号点出发，研究一下在整条路线上，每个节点已到达、但还未加上此节点的油量前，是不是剩余油量全部都大于等于0，如果出现某个节点到达时（未加上本节点的油），油量已经小于0，就意味着不可行，因为 中途没油是不可能跑到下一个节点的,任意时刻需要s[i]>=0。

4、【普通情况】从i号点出发

办法：【破环成链】

假设从i点出发，就是在问: j ∈[i+1,i+2,i+3, ... ,i+n] 这n个点中，s[j]-s[i]是不是一直大于等于0，如果有一个小于0的就是不合法。

Q:为什么要s[j]-s[i],这是什么意思？ 答：这本质上和从1号点出发是一样的，比如从3号点出发，n=10，就是

\large 1,2,\underline{3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3},4,5,6,7,8,9,10

由于我们只计算一遍S前缀和数组，所以从3号节点出发，可以认为出发时油量为0,而直接读取s[3]就不对了，因为它包含了a[1],a[2],a[3],我们需把它扣除掉，才符合要求,这也就是s[j]-s[i]的含义了。

5、判断方法

判断s[j]-s[i]>=0有两种判断办法，分别是：

(1)、计算方法I

for (int i = 1; i <= n; i++) { //枚举每个出发点
    bool flag = true;
    for (int j = i + 1; j <= i + n; j++)
        if (s[j] - s[i] < 0) {
            flag = false;
            break;
        }
    if (flag) ans[i] = true;
}

(2)、计算方法II

for (int i = 1; i <= n; i++) { //枚举每个出发点
    LL Min = LLONG_MAX;
    for (int j = i + 1; j <= i + n; j++) Min = min(Min, s[j]); //记录在哪个点是存油量最少的情况
    // s[j]-s[i]>=0 则表示一直保持油量大于等于0
    if (Min >= s[i]) ans[i] = true;
}

其实这两种计算方法本质上是一样的，但第二种更聪明些：

区间内的最小值，也就是 油量最低点，它要是 小于起始值s[i] ,那就肯定是不中了，我也不管你其它节点啥样，反正最小的小于起始值就是表示中间有断油的情况发生。

这句话是后面优化时采用单调队列的基础，因为这就明显指向了 在区间内找出最小值！

暴力法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000010;
int n;
int p[N];
int d[N];
LL s[N];
bool ans[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d %d", &p[i], &d[i]);
        // 破环成链
        p[i + n] = p[i];
        d[i + n] = d[i];
    }

    // 顺时针，油量增减量的前缀和
    for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) s[i] = s[i - 1] + p[i - 1] - d[i - 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举出发点
        LL Min = LLONG_MAX;
        // 找出每个加油站站点到达时的油量最小值，如果最小值都
        for (int j = i + 1; j <= i + n; j++) Min = min(Min, s[j]);
        if (Min >= s[i]) ans[i] = true;
    }

    // 逆时针，油量增减量的后缀和
    // 一正一反跑两回，才能说某个点是不是顺时针、逆时针可以到达全程，跑环成功
    // KAO,前缀和和后缀和一起用，居然不用重新初始化！牛！这个边界s[i+1]=0用的好啊！
    // memset(s, 0, sizeof s);
    for (int i = 2 * n; i; i--) s[i] = s[i + 1] + p[i + 1] - d[i];
    for (int i = n + 1; i <= 2 * n; i++) {
        LL Min = LLONG_MAX;
        for (int j = i - 1; j >= i - n; j--) Min = min(Min, s[j]);
        if (Min >= s[i]) ans[i - n] = true;
    }

    // 枚举输出
    for (int i = 1; i <= n; i++) puts(ans[i] ? "TAK" : "NIE");
    return 0;
}

四、单调队列优化

用 单调队列 来维护这长度为n的区间的 前缀和 最小值 时是哪个位置j。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2000010; // 破环成链,双倍长度
int n, p[N], d[N];     // n:油站数量,p:加上的油量,d:消耗掉的油量
LL s[N];               // 顺时针：p[i-1]-d[i-1] 的前缀和，逆时针：p[i + 1] - d[i] 的后缀和
int q[N], hh, tt;      // 队列
bool ans[N];           // 结果数组，因为每个站点都有一个结果：是不是能从它出发环行一周，所以，需要一个结果数组

int main() {
    // 此题目数据量 n<=1e6,数据量大，使用scanf进行读取
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d %d", &p[i], &d[i]);
        // 破环成链
        p[i + n] = p[i]; // 在i点的加油量
        d[i + n] = d[i]; // ① 顺时针：从i到下一站i+1的耗油量,②逆时针：从i+1到下一站i的耗油量
    }

    // 一、顺时针
    // (1) 前缀和
    for (int i = 1; i <= n * 2; i++) s[i] = s[i - 1] + p[i - 1] - d[i - 1];

    // 每个节点考查它右侧最长n个长度的窗口中，s[j]的最小值=s[q[hh]]
    // 它右边i+1,i+2,...,i+n需要先入队列，才能让i看到未来,倒序遍历
    // (2) 哨兵
    q[0] = n * 2 + 1;                           // 倒序遍历，添加右侧哨兵
    hh = 0, tt = 0;                             // 单调队列
    for (int i = n * 2; i; i--) {               // 倒序遍历
        while (hh <= tt && q[hh] - i > n) hh++; // 最长n个站点
        /*
        ① 如果最小值都大于s[i],说明i可以环形完成旅行
        ② 走到i时，没加上i站点的油前，考查前i-1,i-2,..,i-n的情况，i还没有参加讨论，所以先用队列解决问题后，再将i入队列
        */
        if (s[q[hh]] >= s[i]) ans[i] = true;       // s[q[hh]]=s[j]区间内最小值，s[j]-s[i]>=0就是可以走到
        while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt--; // 准备i入队列,保留年轻+漂亮(数值更小),喜新厌旧，什么东西！
        q[++tt] = i;                               // i入队列
    }

    // 二、逆时针，后缀和
    for (int i = 2 * n; i; i--) s[i] = s[i + 1] + p[i + 1] - d[i]; // 这里有一个细节，d[i]其实就是i+1->i消耗掉的油量
    q[0] = 0;                                                      // 正序遍历,添加左侧哨兵
    hh = 0, tt = 0;                                                // 初始化队列
    for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) {                             // 正序遍历
        while (hh <= tt && i - q[hh] > n) hh++;                    // 最长n个站点
        if (s[q[hh]] >= s[i]) ans[i - n] = true;
        while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
    }

    // 输出
    for (int i = 1; i <= n; i++) puts(ans[i] ? "TAK" : "NIE");
    return 0;
}