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##[$AcWing$ $898$. 数字三角形](https://www.acwing.com/problem/content/description/900/)
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给定一个如下图所示的数字三角形，从顶部出发，在每一结点可以选择移动至其左下方的结点或移动至其右下方的结点，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数字的和最大。
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```cpp {.line-numbers}
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7
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3 8
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8 1 0
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2 7 4 4
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4 5 2 6 5
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```
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$，表示数字三角形的层数。
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接下来 $n$ 行，每行包含若干整数，其中第 $i$ 行表示数字三角形第 $i$ 层包含的整数。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大的路径数字和。
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**数据范围**
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$1≤n≤500$,$−10000≤$三角形中的整数$≤10000$
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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5
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7
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3 8
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8 1 0
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2 7 4 4
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4 5 2 6 5
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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30
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```
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### 二、$dfs$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 510;
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int a[N][N];
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int n;
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/**
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深度优先搜索关键点：
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1、递归出口
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本题是超出n行，来到了第n+1行，就意味着搜索结束，可以统计答案了
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2、每一个位置，面临两种选择，分别是正下方和右下方，需要计算它们每一条路线的总和，
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sum(left,right,a[x][y])
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3、需要使用int返回，因为从每个坐标出发，最终都需要返回一个sum和，而这个sum对于调用者
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是有用的,不用采用全局变量，只能用返回int形式。
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4、向下传递，用参数；向上传递，用返回值
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*/
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int dfs(int x, int y) {
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if (x == n + 1) return 0; // 你们不要指望我了，我是0，你们该咋办就咋办吧~
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if (y > x) return 0;
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return max(dfs(x + 1, y), dfs(x + 1, y + 1)) + a[x][y];
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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cin >> a[i][j];
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int res = dfs(1, 1);
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printf("%d", res);
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return 0;
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}
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```
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结果：简单样例通过
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本题数据范围
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$1≤n≤500, −10000≤$三角形中的整数$≤10000$
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因为爆搜的时间复杂度是 $2^{n-1}$,所以$500$的话就是$2^{499}$，肯定是$TLE$了!需要想办法优化。
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### 三、记忆化搜索
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 510;
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int a[N][N];
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int f[N][N]; // 记录以(x,y)坐标位置为根的子树的路径最大和
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int n;
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int dfs(int x, int y) {
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if (f[x][y]) return f[x][y]; // 如果算过，就直接返回
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if (x == n + 1) return 0; // 你们不要指望我了，我是0，你们该咋办就咋办吧~
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if (y > x) return 0;
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// 算过的都记录下来，别丢掉,左下方，x+1,y,右下方，x+1,y+1
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f[x + 1][y] = dfs(x + 1, y);
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f[x + 1][y + 1] = dfs(x + 1, y + 1);
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f[x][y] = max(f[x + 1][y], f[x + 1][y + 1]) + a[x][y];
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return f[x][y];
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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cin >> a[i][j];
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int res = dfs(1, 1);
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printf("%d", res);
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return 0;
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}
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```
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### 四、$DP$ 动态规划 [自底向上+二维数组]
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* 状态表示
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$f[i][j]$
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集合：**从底向上** 走到$(i,j)$所有路线的集合
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属性：$max$
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* 状态计算
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$f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j]$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e4 + 10;
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int n, a[N][N];
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int f[N][N];
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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cin >> a[i][j];
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for (int i = n; i >= 1; i--) // 从下向上去递推
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + a[i][j];
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printf("%d\n", f[1][1]);
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return 0;
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}
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```
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### 五、$DP$ 动态规划 [自底向上+一维数组]
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e4 + 10;
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int f[N];
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int a[N][N];
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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cin >> a[i][j];
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for (int i = n; i >= 1; i--)
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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f[j] = max(f[j + 1], f[j]) + a[i][j];
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printf("%d", f[1]);
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return 0;
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}
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```
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### 六、$DP$ 动态规划 [自上向下+二维数组]
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 510;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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int f[N][N];
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int a[N][N];
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int main() {
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int n;
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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cin >> a[i][j];
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memset(f, -0x3f, sizeof f); // 预求最大，先设最小
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// 其实自上而下版本之所以需要初始化-INF，是因为每个枚举到的位置需要从它头顶和它的左上侧取值对比
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// 而它的正上方可能是不存在的，如果不初始化，就是0
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// 本题数据还可能是负数，就会造成它可会从正上方取来一个0做为最大值，造成结果错误
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f[1][1] = a[1][1];
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for (int i = 2; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + a[i][j];
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int res = -INF;
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for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]);
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printf("%d\n", res);
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return 0;
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}
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```
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### 七、$DP$ 动态规划 [自上向下+一维数组]
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 510;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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int n;
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int f[N];
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int a[N][N];
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= i; j++)
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cin >> a[i][j];
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// 预求最大，先设最小
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memset(f, -0x3f, sizeof f);
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f[1] = a[1][1]; // 递推的初始化边界
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for (int i = 2; i <= n; i++)
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for (int j = i; j >= 1; j--)
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f[j] = max(f[j - 1], f[j]) + a[i][j];
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int res = -INF;
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for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[i]);
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|
printf("%d", res);
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|
return 0;
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}
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```
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