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##[$AcWing$ $884$. 高斯消元解异或线性方程组](https://www.acwing.com/problem/content/description/886/)
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### 一、题目描述
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输入一个包含 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的异或线性方程组。
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方程组中的系数和常数为 $0$ 或 $1$，每个未知数的取值也为 $0$ 或 $1$。
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求解这个方程组。
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异或线性方程组示例如下：
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```cpp {.line-numbers}
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M[1][1]x[1] ^ M[1][2]x[2] ^ … ^ M[1][n]x[n] = B[1]
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M[2][1]x[1] ^ M[2][2]x[2] ^ … ^ M[2][n]x[n] = B[2]
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…
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M[n][1]x[1] ^ M[n][2]x[2] ^ … ^ M[n][n]x[n] = B[n]
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```
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其中 `^` 表示异或$(XOR)$，$M[i][j]$ 表示第 $i$
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个式子中 $x[j]$ 的系数，$B[i]$ 是第 $i$ 个方程右端的常数，取值均为 $0$ 或 $1$。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$。
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接下来 $n$ 行，每行包含 $n+1$ 个整数 $0$ 或 $1$
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，表示一个方程的 $n$ 个系数以及等号右侧的常数。
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**输出格式**
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如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 $n$ 行，其中第 $i$ 行输出第 $i$ 个未知数的解。
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如果给定线性方程组存在多组解，则输出 `Multiple sets of solutions`。
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如果给定线性方程组无解，则输出 `No solution`。
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**数据范围**
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$1≤n≤100$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3
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1 1 0 1
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0 1 1 0
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1 0 0 1
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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1
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0
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0
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```
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### 二、解题思路
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**核心思想**: 异或-不进位的加法
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那么等式与等式间的异或要一起进行才能保证等式左右两边依然是相等关系!
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`a^b^c = x`
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`d^f = y`
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则
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`a^b^d^c^f = x^y`
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#### 1 左下角消$0$
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① 枚举列
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② 找第一个非零行
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③ 交换
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④ 把同列下面行消零(异或)
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#### 2 判断$3$种情况
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① 唯一解
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② 秩<$n$
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- 有矛盾 无解
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- 无矛盾 无穷多解
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#### 3 手绘流程
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#### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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// 异或：不进位的加法
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const int N = 110;
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int n;
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int a[N][N];
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void gauss() {
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int r = 1;
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for (int c = 1; c <= n; c++) {
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int t = r;
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// 找到第一个是1的行，不用找最大值,因为只有0、1，1就是最大值
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for (int i = r + 1; i <= n; i++)
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if (a[i][c]) t = i;
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// 没有找到的话，下一列
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if (!a[t][c]) continue;
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// 交换
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swap(a[r], a[t]);
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for (int i = r + 1; i <= n; i++) // 后面的行
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if (a[i][c]) // 如果与c同一列有数字1
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for (int j = n + 1; j >= c; j--) // 从右侧结果开始，到c列为止,利用当前的r行c列值1，通过异或运算，将后续行此列消为0
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a[i][j] ^= a[r][j];
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// 下一行
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r++;
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}
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// 判断无解和无穷多解
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if (r <= n) {
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for (int i = r; i <= n; i++)
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if (a[i][n + 1]) {
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// 无解
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puts("No solution");
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exit(0);
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}
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// 无穷多组解
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puts("Multiple sets of solutions");
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exit(0);
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}
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// 唯一解，还原成各个方程的解
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for (int i = n; i >= 1; i--)
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for (int j = i + 1; j <= n; j++)
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a[i][n + 1] ^= a[i][j] * a[j][n + 1];
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// 这个乘法用的好！因为a[i][j]只有01两种形式，0乘以什么都是0，异或后还是本身。1的话就相当于异或一下等式左右两端
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}
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int main() {
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cin >> n;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n + 1; j++)
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cin >> a[i][j];
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gauss();
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// 唯一解
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for (int i = 1; i <= n; i++) cout << a[i][n + 1] << endl;
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return 0;
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}
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``` |
