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## $AcWing$ $205$. 斐波那契
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[题目传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/P1962)
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### 一、题目描述
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在斐波那契数列中，$F_ib_0=0,F_ib_1=1,F_ib_n=F_ib_{n−1}+F_ib_{n−2}(n>1)$。
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给定整数 $n$，求 $F_ib_n~ mod ~ 10000$。
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**输入格式**
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输入包含多组测试用例。
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每个测试用例占一行，包含一个整数 $n$。
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当输入用例 $n=−1$ 时，表示输入终止，且该用例无需处理。
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**输出格式**
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每个测试用例输出一个整数表示结果。
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每个结果占一行。
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**数据范围**
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$0≤n≤2×10^9$
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### 二、矩阵乘法
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设 $A$ 为 $P \times M$的矩阵，$B$ 为 $M \times Q$ 的矩阵，设矩阵 $C$ 为矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积，
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其中矩阵 $C$ 中的第 $i$ 行第 $j$ 列元素可以表示为：
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$$\large C_{i,j} = \sum_{k=1}^MA_{i,k}B_{k,j}$$
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如果没看懂上面的式子，没关系。通俗的讲，在矩阵乘法中，结果 $C$ 矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的数，就是由矩阵 $A$ 第 $i$ 行 $M$ 个数与矩阵 $B$ 第 $j$ 列 $M$ 个数分别 **①相乘** 再 **②相加** 得到的。
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> 相关性质
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乘法结合律：$(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)$
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单位矩阵：$AE=EA=A$，其中的单位矩阵 $E$ 符合：行数等于列数，对角线上的元素都是 $1$，其余都是 $0$
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### 三、本题题解
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如果有一道题目让你求斐波那契数列第 $n$ 项的值，**最简单的方法** 莫过于直接 **递推**。但是如果 $n$ 的范围达到了 $10^{9}$级别，递推就不行了，稳稳 $TLE$, 考虑 **矩阵加速递推**:
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斐波那契数列（$Fibonacci$ $Sequence$）大家应该都非常的熟悉了。在斐波那契数列当中，
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我们知道，斐波那契数列有这样的定义：
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$$\large f_i = f_{i−1}+f_{i−2}$$
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那么如果我们有一个$2 × 2 $的矩阵，其中第一行分别是$f_{i − 1}$ 和$f_{i-2}$。我们的目标是把第一行乘上一个矩阵变成$f_i$和$f_{i-1}$。那么应该怎么办呢？
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首先，矩阵$A$和矩阵$C$都含有$f_{i-1}$ 这一项。那么就先从这里下手。
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我们知道，矩阵$C$的$f_{i-1}$在第$1$行第$2$列。那么，根据公式，可以得到
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$$\large C_{1 , 2} = A_{ 1 , 1} × B_{1,2} + A_{1 , 2} × B_{ 2 , 2}$$
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也就是说
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$$\large f_{i-1}=f_{i-1}\times B_{1,2} +f_{i-2}\times B_{2,2}$$
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那么很明显，我们可以得到$B_{1,2}=1,B_{2,2}=0$。这样可以保证进行矩阵乘法之后$C_{1,2}$ 是$f_{i-1}$。
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那么现在来看矩阵$C$中的$f_i$。我们要保证的是
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$$\large C_{1,1} =A_{1,1} ×B_{1,1} +A_{1,2} ×B_{2,1}$$
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也就是说
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$$\large f_{i}=f_{i-1}\times B_{1,1}+f_{i-2}\times B_{2,1}$$
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我们知道，$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$。所以可以得到$B_{1,1}=1,B_{2,1}=1$
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那么整个矩阵$B$都被我们求出来了。
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得到了$f_i$ 和$f_{i-1}$ 后，我们再将它乘一次矩阵$B$，就可以得到$f_{i+1}$和$f_i$,又可以得到$f_{i+2}$和$f_{i+1}...$,这样就可以得到$f_n$了。
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**但是！**
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你以为就结束了？
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这样的时间复杂度是$O(nm^2)$，其中$n$表示求斐波那契数列的第$n$项，$m$表示矩阵的长宽,还不如递推。而且递推可以得到$1$到$n$的所有斐波那契数，而矩阵乘法只能求第$n项。
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其实还有个地方可以优化。
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我们求$f_n$的时候其实是将原矩阵$A$乘了$n − 1$次矩阵$B$的。也就是说
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$$\large 目标矩阵=A×B^{n−1}$$
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看到$n − 1$次方想到了什么？
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可以用 **快速幂**！
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我们用快速幂的思想求出$B^{n-1}$，然后再乘上一个矩阵$A$即可。
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怎么用快速幂？
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其实是一个道理。只不过把矩阵$A$乘矩阵$B$换成矩阵$B$乘矩阵$B$就可以了。
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那么最终的时间复杂度为$O(m^3logn)$。还是很优秀的。
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<font color='red' size=4><b>注意</b></font>
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矩阵乘法不满足交换律，所以一定不能写成 $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{n-2} \times \left[\begin{array}{ccc}1 & 1\end{array}\right]$ 的第一行第一列元素。
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* 对于 $n \leq 2$ 的情况，直接输出 $1$ 即可，不需要执行矩阵快速幂。
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* 为什么要乘上 $base$ 矩阵的 $n-2$ 次方而不是 $n$ 次方呢？因为 $F_1, F_2$ 是不需要进行矩阵乘法就能求的。也就是说，如果只进行一次乘法，就已经求出 $F_3$了。如果还不是很理解为什么幂是 $n-2$，建议手算一下。
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### 四、实现代码
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```c++
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 10; //这个黄海实测，写成3也可以AC，考虑到矩阵乘法的维度，一般写成10，差不多的都可以过掉
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const int MOD = 10000;
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int base[N][N], res[N][N];
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int t[N][N];
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//矩阵乘法,为快速幂提供支撑
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inline void mul(int C[][N], int A[][N], int B[][N]) {
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memset(t, 0, sizeof t);
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for (int k = 1; k <= 2; k++)
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for (int i = 1; i <= 2; i++)
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for (int j = 1; j <= 2; j++)
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t[i][j] = (t[i][j] + (A[i][k] * B[k][j]) % MOD) % MOD;
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memcpy(C, t, sizeof t);
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}
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//快速幂
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void qmi(int k) {
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memset(res, 0, sizeof res);
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res[1][1] = res[1][2] = 1; //结果是一个横着走，一行两列的矩阵
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// P * M 与 M * Q 的矩阵才能做矩阵乘积，背下来即可
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//矩阵快速幂,就是乘k次 base矩阵，将结果保存到res中
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//本质上就是利用二进制+log_2N的特点进行优化
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while (k) {
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//比如 1101
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if (k & 1) mul(res, res, base); // res=res*b
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mul(base, base, base); //上一轮的翻番base*=base
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k >>= 1; //不断右移
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}
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}
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int main() {
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int n;
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while (cin >> n) {
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if (n == -1) break;
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if (n == 0) {
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puts("0");
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continue;
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}
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if (n <= 2) {
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puts("1");
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continue;
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}
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// base矩阵
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memset(base, 0, sizeof base);
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/**
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1 1
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1 0
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第一行第一列为1
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第一行第二列为1
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第二行第一列为1
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第二行第二列为0 不需要设置，默认值
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*/
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base[1][1] = base[1][2] = base[2][1] = 1;
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//快速幂
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qmi(n - 2);
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//结果
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printf("%d\n", res[1][1]);
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}
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return 0;
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}
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```
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### 五、思考题
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https://blog.csdn.net/weixin_42638946/article/details/115872469
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使用 **快速幂优化** 计算以下数列第 $n$ 项 $mod ~10^9+7$ 的值：
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1. $\large a_n=a_{n−1}+2a_{n−2}~(a_1=0,a_2=1)$
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**解**：$\large F_n=F_{n-1}+2F_{n-2}$
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$\large G(n)=[F_{n},F_{n-1}],G(n-1)=[F_{n-1},F_{n-2}]$
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思考 $G(n-1)$ 如何变化可以到达 $G(n)$ ?
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$$\large G(n)=G(n-1) \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right] \\
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\Rightarrow \\
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\large [F_{n},F_{n-1}]=[F_{n-1},F_{n-2}] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right] \\
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\Rightarrow $$
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$$\large =[F_{2},F_{1}] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right]^{n-1}=[1,0] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right]^{n-1}$$
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2. $\large a_n=3a_{n−1}−2a_{n−2}+1 ~(a_1=0,a_2=1)$
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3. $\large \displaystyle a_n=\sum_{i=1}^{n−1}[(n−i)×a_i]~(a_1=1)$
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4. $\large a_n=a_{n−1}×a_{n−2}~(a_1=2,a_2=3)$
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矩阵快速幂的一些题目
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https://blog.csdn.net/ypeij/article/details/118785530
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矩阵快速幂
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https://www.cnblogs.com/mk-oi/p/13591627.html |
