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[参考视频](https://www.bilibili.com/video/BV12a411i7rP)
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### 一、从普通前缀和引入
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* **普通前缀和**
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采用$s_n=a_1+a_2+...+a_n$,计算普通前缀和。
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* **动态前缀和**
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如果在求前缀和的过程中，某个$a_i$修改了，那么原来统计好的$s_i$就不对了，而且可能修改的还不只一个，这样，普通前缀和就不好用了，此时，可以用树状数组来解决。
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### 二、树状数组基础
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2022/07/09/64630_0c10d5b6ff-1.png'></center>
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如上图:
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$c[1]$管理$a[1]$;
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$c[2]$管理$c[1],a[2]$;
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$c[3]$管理$a[3]$;
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$c[4]$管理$c[2],c[3],a[4]$;
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<font color='blue' size=4><b>$c[i]$管辖区间范围规定</b></font>
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2022/07/09/64630_940bb2eeff-2.png'></center>
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<font color='red' size=4><b>
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总结：$i$管辖的区间长度，要看$i$的二进制表示法最后有几个$0$,比如有$k$个$0$,它管辖的个数就是$2^k$个。</b></font>
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<font color='blue' size=4><b>
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$$\large 管辖范围: (a[i]-2^k+1) \sim a[i]$$
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</b></font>
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**举个栗子**:$i=(4)_{10}=(0100)_2$,二进制表示法最后两位是$0$,所以它的管理范围是$2^2=4$,即$a[1]\sim a[4]$。
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再来一个，$i=(8)_{10}=(1000)_2$,二进制表示法最后三位是$0$,所以它的管理范围是$2^3=8$，即$a[1]\sim a[8]$。
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<font color='blue' size=4><b>$c[i]$管辖区间范围计算办法</b></font>
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2022/07/09/64630_3ab5075bff-3.png'></center>
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如上图，我们想要得$i=20$的最后面的几个$0$,也就是求最后面的$100$(红色椭圆里面的数字),可以通过二进制运算的$lowbit$运算就可以得到。
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<font color='red' size=4><b>总结：$lowbit$函数可以取得原数二进制表示法中最后一个$1$。</b></font>
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<font color='blue' size=4><b>
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$$\large c[i]区间长度计算办法：lowbit(i)=(-i)\&i$$</b></font>
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<font color='blue' size=4><b>前驱与后继</b></font>
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2022/07/09/64630_9df270b7ff-5.png'></center>
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<font color='black' size=4><b>直接前驱</b></font>
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$$\large c[i-lowbit(i)]$$
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<font color='black' size=4><b> 直接后继</b></font>
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$$\large c[i+lowbit(i)]$$
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树状数组下标从1开始，不能从0开始。因为数组长度是$lowbit(i)$,如果从$0$开始，$lowbit(0)=(-i)\&i=0$,那么前驱就是$c[0-0]=c[0]$，就一直不变，死循环。
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<font color='red' size=4><b>小结：树状数组下标从$1$开始。</b></font>
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如果我们现在将树状数组记录的是$a[i]$的前缀和数组，那么$$sum[7]=c[7]+c[6]+c[4]$$
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这是因为$c[7]$管着$a[7]$,$c[6]$管着$a[5],a[6]$,$c[4]$管着$a[1],a[2],a[3],a[4]$。
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<font color='red' size=4><b>小结:查询找所有前驱，更新改所有后继。</b></font>
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<font color='blue' size=4><b>树状数组操作</b></font>
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* 点更新
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* 查询前缀
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两者都是$O(logn)$的时间复杂度。
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假设$n=1e9$,则此时操作次数就是$log10^9=30$,速度极快。
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### 三、实现代码
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```c++
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e5 + 10;
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int n, a[N];
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//下面是用树状数组完成前缀和的保存办法
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#define lowbit(x) (x & -x)
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int c[N];
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//点更新
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void add(int i, int z) {
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for (; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += z; //更新所有祖先
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}
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//前缀和
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int sum(int i) {
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int s = 0;
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for (; i; i = i - lowbit(i)) s += c[i];
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return s;
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}
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//区间和
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int sum(int i, int j) {
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return sum(j) - sum(i - 1);
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}
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/*
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测试用例：
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5
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2 3 1 4 5
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*/
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int main() {
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scanf("%d", &n);
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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scanf("%d", &a[i]);
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add(i, a[i]);
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}
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//利用树状数组求前缀和
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printf("%d\n", sum(4));
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//利用树状数组求区间和
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printf("%d\n", sum(5) - sum(3));
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return 0;
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}
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```
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### 四、树状数组应用
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#### 1、树状数组求区间最大值
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https://blog.csdn.net/weixin_46048848/article/details/108529488
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