python/TangDou/AcWing/Divisor/870.md

##[$AcWing$ $870$. 约数个数](https://www.acwing.com/problem/content/description/872/)

### 一、题目描述
给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 $10^9+7$ 取模。

**输入格式**
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数 $a_i$。

**输出格式**
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 $10^9+7$ 取模。

**数据范围**
$1≤n≤100,1≤a_i≤2×10^9$

**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
3
2
6
8
```

**输出样例：**
```cpp {.line-numbers}
12
```

### 二、约数个数公式

如果$n$的唯一分解式： $$\LARGE n={p_1}^{r_1}\cdot  {p_2}^{r_2} \cdot ...  \cdot {p_k}^{r_k}$$ 

**$n$的约数个数公式：**
$$\large d(n) = (r_1+1) \cdot (r_2+1) \cdot ... \cdot (r_k+1)$$

#### 证明
以$p_1$为例，这个质数因子，可以选择$0$个，可以选择$1$个，...,最多可以选择$r_1$个，就是有$r_1+1$种选择的可能性，其它$p_2,p_3,...,p_k$都是如此，根据**乘法原理**，所有的可能性就是$(r_1+1) \cdot (r_2+1) \cdot ... \cdot (r_k+1)$。

**举个栗子：**
$180= 2^2 * 3^2 * 5$

约数个数$=(1+2) * (1+2) * (1+1) =18$

### 三、求数字连乘积的约数个数
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 110;
const int MOD = 1e9 + 7;

unordered_map<int, int> primes;
int n;

signed main() {
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        for (int i = 2; i <= x / i; i++)
            while (x % i == 0) {
                x /= i;
                primes[i]++;
            }
        if (x > 1) primes[x]++;
    }

    int res = 1;
    for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % MOD;

    printf("%lld\n", res);
}
```

### 四、求单个数字的约数个数
求连乘积的都会了的话，这个就简单了，不就是$n=1$时的情况吗？不多说了~