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##[$POJ$ $3694$ $Network$](http://poj.org/problem?id=3694)
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### 一、题目大意
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$n$个点，$m$个边,连通图。
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点与点之间通过边连接，如果切断某个边使得有点与其他点连接断开（连通分支增加），则称这种边为 **桥梁**（离散上叫 **割边**）。
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接下来有$Q$个操作，每操作一次,也就是 **连接** 某条边后，**输出当前存在的桥梁数量**。
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### 二、样例分析
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我们看这个
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```cpp {.line-numbers}
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4 4
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1 2
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2 1
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2 3
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1 4
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2
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1 2
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3 4
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0 0
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```
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一开始是图中蓝色部分，其中$1$和$4$之间的边，$2$和$3$之间的边称之为 **桥**，再加入$1\sim 2$边后（绿色），桥还是那俩没变，再加入$4\sim 3$边后，桥的数量为$0$（因为此时你去掉任何一个边，任意两个点都可连接）
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### 二、解题思路
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- ① 运行一次$Tarjan$，求出哪些边是割边。
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- ② 两点连接起来，找这两个点的$LCA$，因为从点$u$到$LCA$再到点$v$再到点$u$，将形成环，里面的割边都会变成不是割边。
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- ③ 计数的时候注意，随着新边的加入，有些树边已经被标记了，不再重复计数。
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### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <cstdio>
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#include <iostream>
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#include <algorithm>
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#include <cstring>
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using namespace std;
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const int M = 400010;
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const int N = 100010;
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int bridge[N]; // 某个节点的入边是不是桥,比如 u->v是桥，则记录bridge[v]=1
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int p[N]; // 并查集
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int bcnt; // 桥的数量
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int n, m;
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// 链式前向星
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int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
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void add(int a, int b, int c = 0) {
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e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
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}
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// Tarjan算法求割边模板
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int dfn[N], low[N], ts;
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void tarjan(int u, int fa) {
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dfn[u] = low[u] = ++ts;
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int v = e[i];
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if (v == fa) continue;
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if (!dfn[v]) {
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p[v] = u; // 记录v的父节点是u
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tarjan(v, u); // 先搜索子树v
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low[u] = min(low[u], low[v]);
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if (low[v] > dfn[u]) { // 发现割边
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bcnt++; // 割边数量 +1
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bridge[v] = 1; // 因为经Tarjan算法缩点后，是一棵树，所以，bridge[v]代表的就是父节点向v的边，也就是u->v的边是割边
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}
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} else
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low[u] = min(low[u], dfn[v]);
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}
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}
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// 暴力方法找到lca(a,b)
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int lca(int a, int b) {
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if (dfn[a] > dfn[b]) swap(a, b); // 利有dfn的物理含义，可以知道a和b的最终生成树中的深度关系
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// 本题与什么缩点没有一毛钱关系，只是在讨论割边。
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// 整体思路就是用Tarjan算法求出割边，然后尝试连接(a,b),如样例的图所示
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// b节点，满足b在a下面就一直向上，直到不能再上，再上就跑到a上面去了为止
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// 对于两个深度的节点a,b,先将a,b对齐到同一高度
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while (dfn[a] < dfn[b]) {
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if (bridge[b]) bcnt--;
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bridge[b] = 0;
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b = p[b];
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}
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// 然后再两个节点一起向上跳，这是为了照顾效率吗？
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while (a != b) {
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if (bridge[a]) bridge[a] = 0, bcnt--; // 如果p[a]->a是割边的话，那么现在因为有了环，将不再是割边
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if (bridge[b]) bridge[b] = 0, bcnt--; // 如果p[b]->b是割边的话，那么现在因为有了环，将不再是割边
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a = p[a], b = p[b]; // 一路向上
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}
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return a;
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}
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int main() {
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("POJ3694.in", "r", stdin);
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#endif
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int cas = 0;
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while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
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if (n == m && n == 0) break;
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ts = bcnt = 0;
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memset(h, -1, sizeof h); // 初始化链式前向星
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memset(low, 0, sizeof low); // 初始化Tarjan算法需要的数组
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memset(dfn, 0, sizeof dfn); // 初始化Tarjan算法需要的数组
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memset(bridge, 0, sizeof bridge); // 记录某条边是不是桥
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for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; // 初始化并查集
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printf("Case %d:\n", ++cas);
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while (m--) {
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int a, b;
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scanf("%d%d", &a, &b);
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add(a, b), add(b, a);
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}
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// 因为是无向则连通的图，所以所有点必然都连通，也就是从1号点可以到达任意点，
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// 不需要枚举每个点，并且判断dfn[i]==0进行判断
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tarjan(1, 0);
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// q次询问
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int q;
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scanf("%d", &q);
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while (q--) {
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// 添加边，如果边的两端处在不同的点上，求他们的LCA，并且减少桥的数量
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int a, b;
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scanf("%d%d", &a, &b);
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lca(a, b);
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printf("%d\n", bcnt); // 割边数量
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}
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puts("");
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}
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return 0;
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}
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```
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### 三、总结
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- ① $Tarjan$ 计算割边，可以用`set<int,int> _set` 记录$u->v$是割边；同时，由于$Tarjan$执行边双缩点后，最终是一棵树，所以，也可以用$bridge[v]$来描述$fa[v]->v$这条边是割边，因为树的父节点向子节点只有一条边，记录到$v$身上就可以配合树的遍历找到这条割边。
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- ② $Tarjan$ 算法在本质上是一个$dfs$的过程，产生的$dfs$序$dfn[i]$可以理解为$LCA$中的深度概念，配合暴力的$lca$求解办法，不断向上，直到找出$lca(u,v)$
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- ③ 为什么本题不将图用$bfs$预处理，然后通过倍增$lca$来求解$lca$呢？
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答：因为倍增讲究一个跳字，能多跳不少跳。而本题，割边可能存在于$u \Rightarrow
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lca(u,v) \Rightarrow v$这条链路上的每一个位置，如果跳过，就无法将每次添加边后环中遇到的割边修改为非割边。只能是一步一步向上，不能跳着走。
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