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##[$AcWing$ $8$. 二维费用的背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/8/)
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### 一、题目描述
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有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包，背包能承受的最大重量是 $M$。
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每件物品只能用一次。体积是 $v_i$，重量是 $m_i$，价值是 $w_i$。
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求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
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输出最大价值。
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**输入格式**
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第一行三个整数，$N,V,M$，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。
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接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,m_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积、重量和价值。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大价值。
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**数据范围**
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$0<N≤1000,0<V,M≤100,0<v_i,m_i≤100,0<w_i≤1000$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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4 5 6
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1 2 3
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2 4 4
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3 4 5
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4 5 6
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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8
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```
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### 二、分析
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每件物品只能 **用一次** 因此是个 **01背包模型**
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费用一共有两个，一个是 **体积**，一个是 **重量**，因此是个 **01背包二维费用问题**
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本题是一道裸题，直接上 **闫氏DP分析法**
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**闫氏DP分析法**
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/19/55909_7844bea6d1-IMG_C0D309FBA487-1.jpeg'></center>
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初始状态：`f[0][0][0]`
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目标状态：`f[n][V][M]`
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#### 状态转移方程:
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* 当剩余的空间$j$不能装下当前物品$i$,即$j<v_1$时不能选择$i$物品。
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$f[i,j,k]=f[i−1,j,k]$
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* 当剩余的重量$k$不能装下当前物品$i$,即$k<v_2$时不有选择$i$物品。
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$f[i,j,k]=f[i−1,j,k]$
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* 当$j>=v_1\&\&k>=v_2$时，可以选择要$i$,还是不要$i$。
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* 不要$i$:$f[i,j,k]=f[i−1,j,k]$
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* 要$i$:$f[i,j,k]=f[i−1,j−v_1,k−v_2]+w$
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### 三、三维数组解朴素解法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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const int M = 110;
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int n;
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int m1, m2;
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int f[N][M][M];
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int main() {
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cin >> n >> m1 >> m2;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v1, v2, w;
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cin >> v1 >> v2 >> w;
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for (int j = 0; j <= m1; j++)
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for (int k = 0; k <= m2; k++) {
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f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
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if (j >= v1 && k >= v2)
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f[i][j][k] = max(f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - v1][k - v2] + w);
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}
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}
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printf("%d", f[n][m1][m2]);
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return 0;
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}
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```
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### 四、二维数组空间优化解法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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const int M = 110;
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int n;
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int m1, m2;
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int f[M][M];
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int main() {
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cin >> n >> m1 >> m2;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v1, v2, w;
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cin >> v1 >> v2 >> w;
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for (int j = m1; j >= v1; j--)
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for (int k = m2; k >= v2; k--)
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f[j][k] = max(f[j - v1][k - v2] + w, f[j][k]);
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}
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printf("%d\n", f[m1][m2]);
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return 0;
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}
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``` |
