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##[$AcWing$ $1020$. 潜水员](https://www.acwing.com/problem/content/description/1022/)
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### 一、题目描述
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潜水员为了潜水要使用特殊的装备。
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他有一个带$2$种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。
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让潜水员下潜的深度需要各种数量的氧和氮。
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潜水员有一定数量的气缸。
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每个气缸都有重量和气体容量。
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潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。
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他完成工作所需气缸的总重的 **最低限度** 的是多少？
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例如：潜水员有$5$个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：
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```cpp {.line-numbers}
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3 36 120
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10 25 129
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5 50 250
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1 45 130
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4 20 119
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```
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如果潜水员需要$5$升的氧和$60$升的氮则总重最小为$249$（$1，2$或者$4，5$号气缸）。
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你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的 **最低值**。
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**输入格式**
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第一行有$2$个整数 $m，n$。它们表示氧，氮各自需要的量。
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第二行为整数 $k$ 表示气缸的个数。
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此后的 $k$ 行，每行包括$a_i，b_i，c_i$，$3$个整数。这些各自是：第 $i$ 个气缸里的氧和氮的容量及气缸重量。
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**输出格式**
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仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。
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**数据范围**
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$1≤m≤21,1≤n≤79,1≤k≤1000,1≤a_i≤21,1≤b_i≤79,1≤c_i≤800$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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5 60
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5
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3 36 120
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10 25 129
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5 50 250
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1 45 130
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4 20 119
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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249
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```
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### 二、与普通二维背包费用问题的区别
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* 普通的二维背包费用问题
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$f(i,j,k)$ 表示从前$i$个物品中选，且花费$1$**不超过**$j$,花费$2$**不超过**$k$的 **最大** 价值
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* 潜水员
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$f(i,j,k)$ 表示从前$i$个物品中选，且花费$1$**不少于**$j$,花费$2$**不少于**$k$的 **最小** 价值
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本题是一个 **二维费用$01$背包问题** ，但和一般的 **二维费用$01$背包问题** 不同
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这题要求的是 <font color='red' size=4><b>费用不少于</b></font> 规定条件，因此我们需要对于 **状态的定义** 进行改变
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#### 闫氏$DP$分析法
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这样分析完，似乎与普通的二维费用背包没有区别！这肯定是不可能的，我们必然是遗漏了些什么！！
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<font color='red' size=6><b>考虑$j-v_1<0$,$k-v_2<0$的情况!</b></font>
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有普通的二维费用背包问题中，$j,k$是不能进行超载的，超过了背包就太重， 背包就 **漏** 了！
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在本题中是 **可以超载** 的，理解一下超载是什么意思：
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> - $j$:氧气还需要$j$升
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> - $k$:氮气还需要$k$升
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**举栗子**：$j=2,k=5$,就是氧气还需要$2$升，氮气还需要$5$升，现在出现的某个气瓶，氧气$20$升，氮气$50$升，一个就可以把你的需求满足，那么请问：你还需要氧气多少升、氮气多少升呢？
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**答**：不需要，都可以满足要求了，即$j=0,k=0$,也就是$f[i-1][0][0]+w$,而对于一个无欲无求的$f[i-1][0][0]$自然是等于$0$,也就是$f[i][j][k]=w$
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### 三、三维解法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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const int M = 110;
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int n, m, m1, m2;
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int f[N][M][M];
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int main() {
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cin >> m1 >> m2 >> n;
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memset(f, 0x3f, sizeof f);
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f[0][0][0] = 0;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v1, v2, w;
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cin >> v1 >> v2 >> w;
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for (int j = 0; j <= m1; j++)
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for (int k = 0; k <= m2; k++) {
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f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
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f[i][j][k] = min(f[i - 1][j][k], f[i - 1][max(0, j - v1)][max(0, k - v2)] + w);
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}
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}
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cout << f[n][m1][m2] << endl;
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return 0;
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}
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```
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### 四、二维解法
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 22, M = 80;
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int n, m, K;
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int f[N][M];
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int main() {
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cin >> n >> m >> K;
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memset(f, 0x3f, sizeof f);
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f[0][0] = 0;
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while (K--) {
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int v1, v2, w;
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cin >> v1 >> v2 >> w;
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for (int i = n; i >= 0; i--)
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for (int j = m; j >= 0; j--)
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f[i][j] = min(f[i][j], f[max(0, i - v1)][max(0, j - v2)] + w);
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}
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cout << f[n][m] << endl;
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return 0;
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}
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``` |
