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韦达定理
### 练习题一
解题过程：
直接求解一元二次方程？不行的，因为方程里面除了x外，还有一个a,没法直接解的。
从方程的两个根x_1,x_2看的出来，可以使用韦达定理。
\large \left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=-\frac{b}{a}&=1-3a \\
x_1 x_2=\frac{c}{a}&=2a^2-1
\end{matrix}\right.
目标式:(3x_1-x_2)(x_1-3x_2)=3x_1^2-10 x_1 x_2+3x_2^2=3(x_1^2+x_2^2)-10x_1x_2
为了能转化为x_1+x_2的形式，需要进行一下配方:
=3(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)-10x_1x_2
=3(x_1+x_2)^2-16x_1x_2
=3(1-3a)^2-16(2a^2-1)
=3(1-6a+9a^2)-32a^2+16
=3-18a+27a^2-32a^2+16
-5a^2-18a+19=-80
5a^2+18a-19=80
5a^2+18a-99=0
转化为一元二次方程形式，根据求根公式，计算
a=\frac{-18 \pm \sqrt{18^2+4*5*99}}{2\times 5}
a=\frac{-18 \pm 48}{10}
\therefore a_1=-6.6,a_2=3
易错点
因为使用了求根公式，能够得到实数根的前提是方程有实数根，即要求\triangle=b^2-4ac>=0
验证一下两个根:
计算\triangle=b^2-4ac=(3a-1)^2- 4 \times (2a^2-1)
-
a_1=3代入，\triangle=8^2-4\times 17=-4<0,此解需要舍去 -
a_2=-6.6代入,20.8^2-4\times (-2*6.6*6.6-1)>0
所以，最终的答案只有a=-6.6