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一、前导知识

1、三角形全等判定定理

1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或 “边角边”)。

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或 “角边角”)。

4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或 “角角边”)。

5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”)。 SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中,没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL,属于SSA),这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

Tips

Q:边边角（SSA）就一定不能证明三角形全等吗？

两个角相加等于 90^ \circ ，叫互余；两个角相加等于 180^ \circ，叫互补

2、垂直平分线

1、线段的垂直平分线（中垂线）

（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（4）画法：线段AB的垂直平分线，分别以线段AB两个端点为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于两点CD，则直线CD是线段AB的垂直平分线。

2、轴对称

（1）轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形完全重合，就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点

（3）性质：

①关于某条直线对称的两个图形是全等形

②如果两个图形关于某条子线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线；

③两个图形关于某一条直线对称，如果它们的对应线段或者延长线相交，那么交点在对称轴上。注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称。

扩展阅读

二、练习题

思路：

• 因题目告之AB=CB,同时 \angle ABC=90^ \circ,所以是一个等腰直角三角形。
• \angle CBE + \angle DBA= \angle DBA+ \angle DAB \therefore \angle CBE = \angle DAB
• 又\because BC=AB

根据直角三角形判断相等 AAS， \therefore \triangle CEB \cong \triangle ADB

\therefore EB=AD=3,DE=DB-EB=CE-DB=5-3=2

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解:\triangle CEB \cong \triangle CDA 即可，SAS

解：\triangle BDA \cong \triangle ACE \therefore \angle 3= 55^ \circ

解： ① \because \angle ABC= 45^ \circ \therefore \triangle ABD 为等腰直角三角形， AB=DB

\therefore \triangle DFB \cong \triangle FDB (AAS) 证毕 ② \because FB=DC \angle ADC= 90^ \circ \triangle FDC 为等腰直角三角形 \therefore \angle FCD= 45^ \circ 证毕

③ BF=2EC,所以E为中点，BE就是垂直平分线。 \therefore AF=FC,AB=BC(垂直平分线的性质)

\therefore AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD

证毕

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湖北鄂州 中考真题 初中数学 2020

\triangle AOC \cong \triangle BOD

\therefore AC=BD ② ✔

\because \angle AMB= \angle DMC (对顶角) \angle ACO =\angle ODB \therefore \angle COD=CMD (两个三角形中，有一个共顶角，另外两个角相等，剩下的两个角也一定相等)

\therefore \angle AMD= \angle COD= 36^ \circ ① ✔

由O向AC,BD引出垂线，垂足为H,G，因为 \triangle AOC \cong \triangle BOD ,所以对应边的垂线长度也一定要等，\triangle OHM 与 \triangle OMG 共用一条边OM,并且，另一条直线边还相等，所以 \triangle OHM \cong \triangle OGM \therefore \angle AMO =\angle DMO ④ ✔

现在还看一下 ③ 反证法：假设 \angle AOM=\angle MOD 看看会不会有矛盾产生。

\large \left\{\begin{matrix}
\angle AOM= \angle MOD & \\ 
OM=OM & \\
\angle OMA= \angle OMD & (上面的结论 ④) 
\end{matrix}\right.

根据ASA定理，则 \triangle AOM \cong \triangle OMD \therefore OA=OD=OC,而题目明确给出OA<OC,所以假设错误，③ ✘

总结

• 构造直角三角形,利用三角形全等来判断角是不是相等
• 反证法，同时注意读题中的隐含条件，想一想他为什么要给出这样一个条件

SAS可以证明 (1)

连接A->M,根据结论(1),依然有 \triangle AMO \cong \triangle NOB

\because \angle OAB=45 ^ \circ \angle MAO=\angle OBA=45 ^ \circ \therefore \angle MAN=90 ^ \circ

MN=BN MN^2=AB^2=2ON^2 证毕

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前导知识 ####学习平行四边形判定要学好，这五种方法要掌握牢

解：

延长AD，截取DE=AD 则D为AE,BC的中点，平行四边形判定办法，知道ABCE为平行四边形。

AE<AB+BE=AB+AC=7+5=12,所以AD<6 同时，AE>AC-CE=7=5=2,所以AD>1 选A

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三个都需要仔细思考，并由教师进行点拨

答： (1) SAS (2) AB-AC<AE<AB+AC \Rightarrow 2 <AE <10 \Rightarrow 1<AD<5

(3)

• BF与AC不在一个三角形中，不好直接证明，需要引辅助线。
• 一般中线的题，都是把中线延长一倍，然后再来思考解决办法。

画出下图：

\triangle BDH \cong \triangle ADC \ SAS

如此，成功的把AC转化为BH,而BH与BF在同一个三角形中，就是证明\triangle BFH是等腰三角形即可，问题得到转化。

\because \triangle BHD=\triangle ADC 平行四边判定办法,内错角相等 在，而\triangle BFH=\triangle AFE,而AE=EF,所以\triangle AFE=\triangle FAC=\triangle BHA

结论：\triangle BHD=\triangle BFH \Rightarrow BF=BH=AC

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【前导知识】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

相似三角形

• \triangle BEF \sim \triangle ABD
• 欲证明EG=GC,而GC=NG,根据直角三角形的中线定理可知，如果我们能证明\triangle NEC为直角三角形即可。

Q:如何证明一个三角形是直角三角形呢？ A:通过勾股定理肯定可以，这里用不上，只能从角度方向去思考： 通过瞪眼大法得知：

如果真有这个\triangle NEC=90^\circ,那么\angle NEF=\angle BEC(两个直角+一个共用的角)

我们现在知道：EF:EB=1:2,DC=NF:BC=1:2 \therefore EF:EB=NF:BC

因为\tan \alpha=1/2

90^{\circ}-\angle 1+\angle 2 +(90^{\circ}-\angle 1)=180^{\circ} \therefore \angle 2=2 \times \angle 1 即两个成比例边的夹角:\angle EBC=\angle EFN

\therefore \triangle BEC \sim \triangle FEN，都扣去\angle FEC,则证明了\angle CEN=90^ \circ

证毕。

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【前导知识】

相似三角形

\triangle AEG \sim \triangle BFE

比例： \frac{AE}{BF}=\frac{AG}{BE} 同时： AE=BE \therefore AE^2=AG . BF=2 \therefore AE=\sqrt{2}

\therefore GF^2=CE^2+EF^2=AG^2+AE^2+BE^2+BF^2=1+2+2+4=9 \therefore GF=3

答：

\triangle EFC \cong \triangle DAE EF=AE BF=BC-FC=BC-AD=5 AF=\sqrt{AB^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13 \therefore \large AE=\frac{13}{2}

\triangle ODE \cong \triangle AOB

CO是垂直平分线,证毕

辅助线：

\triangle APB \cong \triangle BPE

S_{\triangle PEC}=S_{\triangle APC} 底边长度一样，高相同。

所以阴影面积是一半的面积。

CD平分\angle ACB, BD \perp CD \triangle EBC是等腰直角三角形 AE=BE=BD+D1+1=2 选A

\triangle AEG \cong \triangle AEC ED为\triangle GCB中位线 BF=(AB-AC)/2

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答：是1/2的概率

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前导知识

中考压轴不再难！半角模型详解！

【中考热点】基本模型——半角模型 视频

中考数学—— 《半角模型》的“N条结论”

几何模型之半角模型

画图解析：

题解 因为\triangle AMN的周长需要三长边AM,MN,AN,而分别计算出来并加在一起从题目中给出的条件看来并不现实，所以需要将一条边转化到另一条边上去，这样就可以拿到两条直边，看看能不能和题目给出的AB、AC建立起关系。

通过瞪眼大法得知，AN=AC-CN,所以，尝试将CN移动到AB上去,一旦成功转化，就好办了。

引辅助线：在AB延长线上截取BF=NC，试图证明\triangle BDF \cong \triangle DNC,很显然，通过ASA(BD=DC,NC=BF,\angle FBD= \angle DCN),全等三角形得证。有条件 DF=DN 成立。

现在还拿不到结论，还需要继续瞪眼大法： \angle BDM+\angle MDN + \angle NDC= 120^ \circ 而其中\angle MDN=60 ^ \circ \therefore \angle BDM+\angle NDC=60 ^ \circ 而\angle NDC=\angle BDF,所以\angle MDF=60^\circ ① MD是公共边 ②

DF=DN ③

\therefore \triangle MDF \cong \triangle MDN (SAS)

\therefore MN=MB+BF

C_{\triangle AMN}=AM+MN+AN=AM+MB+BF+AN=AB+BF+AN=AB+AN+NC=AB+AC=2a

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第二问也是成立的，因为两角相加等于180，也就是互补，一样可以证明两个三角形全等。

下面解决第三问： \triangle BAG \cong \triangle DAF \Rightarrow \angle BAG=\angle DAF,AG=AF

\angle BAG + \angle EAD= \angle DAF + \angle EAD=\angle EAF = \frac{1}{2} \angle BAD

将\angle DAF移动到\angle BAG后，这块多出来的小角就存在于原始角\angle BAD中了，扣除它后，再扣除\angle EAD,则剩下的\angle GAE就是\frac{1}{2}\angle BAD=\angle EAF \therefore \triangle AGE \cong \triangle EAF \therefore EG=EF \because EG=BE-BG \therefore EF=BE-FD 所以，题目中说到的结论是错误的。

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本题是例题，不再讲解

思路

通过两次三角形全等，可知\angle GAE=\angle EAF,FN=GH \Rightarrow \triangle DFN \cong \triangle BGH

BM^2+DN^2=BM^2+BH^2=MH^2=MN^2 \because DN=1,BM=2 \therefore 2^2+1^2=MN^2 \therefore MN=\sqrt{5}

1、证明 AN=EN

\because \angle AMN=\angle BME,\angle EAN=45^ \circ =\angle ABM \therefore \triangle AMN \sim \triangle BME \large \therefore \frac{AM}{BM}=\frac{MN}{ME} 同时，\angle AMB=\angle BMN \therefore \triangle AMB \sim \triangle NME \therefore \angle AEN=\angle BAE=45 ^ \circ 同时因为\angle EAN=45 ^ \circ \therefore \angle ENA=90^\circ 也就是\triangle ANE为等腰直角三角形 ，所以 AN=NE, ① ✔

2、证明 当AE=AF时，\frac{BE}{EC}=2-\sqrt{2}

设正方形边长为1,设CE=x,\Rightarrow OC=\frac{\sqrt{2}}{2}x

\triangle AOE \cong \triangle ABE \Rightarrow AO=AB=1 \Rightarrow CO=\sqrt{2}-1

\therefore 1+ \frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{2} \Rightarrow x= 2- \sqrt{2}

\large \frac{BE}{EC}=\frac{1-(2-\sqrt{2})}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} 故 ② ✘

3、证明BE+DF=EF

半角模型常见办法，就不再赘述了。 ③ ✔

4、证明 存在点E,F,使得NF>DF

这是一个大边对大角，小边对小角的知识点考查，\angle NDF=45 ^ \circ,\angle FND=\angle NDA + \angle NAD=45^ \circ+\angle NAD \therefore \angle DNF> \angle NDF,\Rightarrow DF>NF ④ ✘

证明\triangle BPK \cong \triangle BPD ① \angle PKA=\angle PDC =90 ^ \circ ② KP=PD ③ \therefore \triangle APK \cong \triangle PDC 所以第一问、第二问、第三问(稍一修改即可)都正确。

第四问：将\triangle PDC 旋转到\triangle PKA,S_{PCBA}=S_{\triangle BKP}+S_ { \triangle BPD} ，所以也正确。