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口诀
等线段，证全等；没有等线段，证相似
现在没有辅助线的情况下，看不到存在相似三角形，需要考虑如何添加辅助线后能存在相似三角形。
\because \angle 1=\angle 2=30^{\circ}
现在从这个角相等出发，思考如何设计辅助线：
\angle 1=\angle 2 \Rightarrow
\angle 1 +\angle 3=\angle 2 +\angle 3
\angle 2+\angle 3=\angle ABC
那\angle 1+\angle 3是什么呢？
应该是三角形的外角吧，我们延长BD,则\angle 4=\angle 1+\angle 3
问题来了，延长到哪里呢？
\angle 4=\angle ABC,还要构建相似三角形，观察另一个可能能够得到相等的角：\angle BAC,
\angle BAC=\angle 1+\angle DAC
只要我们引辅助线AE，使得\angle 5=\angle 1即可以构造三角形\triangle ADE\sim \triangle ABC
\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}
变换一下：
\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}
结合\angle 1=\angle 5
\therefore \triangle ABD \sim \triangle ACE
AB=4,BD=\sqrt{3}a,CD=a,BC=2a
利用\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}可以计算出
CE=\frac{3}{2}a
根据勾股定理可求DE=\sqrt{(\frac{3}{2}a)^2-a^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a
再利用第一个相似三角形的条件：
\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}
\frac{4}{AD}=\frac{2a}{\frac{\sqrt{5}}{2}a}
解得AD=\sqrt{5}
总结
- 存在角相等，利用外角构建相似三角形
- 旋转三角形，一转成双
- 利用旋转后构造出来的两个相似三角形，反复利用比例关系，再加上勾股定理，可以计算出一些边的边长。