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(1)
将三个点代入方程，求解方程组
$$
\large \left\{\begin{matrix}
0=a(-1)^2-b+c & \\
0=9a+3b+c & \\
c=-3
\end{matrix}\right.
$$
整理:
$$
\large \left\{\begin{matrix}
a-b-3=0 & \\
3a+b-1=0 & \\
c=-3
\end{matrix}\right.
$$
$$ \Rightarrow
\large \left\{\begin{matrix}
a=1& \\
b=-2& \\
c=-3
\end{matrix}\right.
$$
即$y=x^2-2x-3$
顶点$D$的坐标,根据顶点坐标公式：
$$
\large \left\{\begin{matrix}
x=-\frac{b}{2a} & \\
y=\frac{4ac-b^2}{4a} &
\end{matrix}\right.
$$
$$ \Rightarrow
\large \left\{\begin{matrix}
x=1 & \\
y=-4 &
\end{matrix}\right.
$$
---
** 重点是第二问**：
因为是等腰三角形的情况共三种，需要分情况讨论：
- $AD=AP$ 在以$A$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
- $AD=DP$ 在以$D$为圆心，以$AD$长为半径的圆对称轴的交点上
- $AP=DP$ 在$AD$垂直平分线与对称轴的交点上
有两种方法，几何法和代数法，分别来计算一下：
#### 几何法
- $AD=AP$ 时，$P$点坐标就是$D$关于$X$轴的对称点，$P(1,4)$
- $AD=DP$ 时，利用勾股定理，可以求解$AD$长度，也就是$DP$长度=$\sqrt{(-1-1)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$,$P_2=({-1,2\sqrt{5}-4})$
< font color = 'red' size = 4 >< b > 注意</ b ></ font >
这里非常容易丢失一组解！也可能是以$D$为圆心的圆与对称轴的下方交点! 即$P_3=(-4-2\sqrt{5})$
垂直平分线的交点:
此时$AP=PD$
设 上面一小段为$m$
$(4-m)^2=m^2+2^2 \Rightarrow $
$16-8m+m^2=m^2+4$
$m=\frac{3}{2}$
$P_4(1,-\frac{3}{2})$
#### 代数法
- 表示点
$A(-1,0),D(1,-4),P(1,t)$
- 表示边
利用两点间距离公式 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
分别计算$AD^2,AP^2,DP^2$,就可以免去开根号了
- 列方程求解
$AD^2=4+16=20$
$AP^2=4+t^2$
$DP^2=(t+4)^2$
三个方程式分别联立成三个方程组：
$$
\large \left\{\begin{matrix}
4+t^2=20 & ① \\
4+t^2=t^2+8t+16 & ② \\
(t+4)^2=20 & ③
\end{matrix}\right.
$$
① $t=4$ (根据题意舍掉$-4$)
② $t=-\frac{3}{2}$
③ $t=\pm2\sqrt{5}-4$
