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(1) 将两点代入方程求解方程组即可:
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$$ \left\{\begin{matrix}
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-4=(-3)^2-3b+c & \\
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-1=c &
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\end{matrix}\right.
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$$
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$\therefore b=4,c=-1,$**二次函数方程**:$y=x^2+4x-1$
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下面来求一下直线方程:
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$y=kx+b$
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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-4=k(-3)+b & \\
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-1=b &
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\end{matrix}\right.
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$$
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解得:$k=1,b=-1$,**直线方程**$y=x-1$
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(2)**铅垂法+二次方程求顶点+校验**
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由动点$P$向$x$轴引一条平等于$y$轴的直线，交$AB$于$M$,则$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle APM}+S_{\triangle BPM}$
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- $P$的坐标是设未知数$x=m$,然后通过二次函数获取到的$y=m^2+4m-1$
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- $M$的坐标是通过直线方程求出的，将$x=m$代入直线方程，可得$y=m-1$
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$S=\frac{1}{2} PM * (A横坐标 -B横坐标)$
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$=\frac{1}{2}(m-1-(m^2+4m-1))*(0-(-3))$
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$=-\frac{3}{2}m^2-\frac{9}{2}m$
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$\because -\frac{3}{2}<0$，同一个开口向下的抛物线，所以函数有最大值，最大值在顶点，
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$X=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{9}{2}}{-3}$
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解得$X=-\frac{3}{2}$时，取得最大值，最大值
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$=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{0-\frac{81}{4}}{-6}=\frac{81}{24}=\frac{27}{8}$
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(3) **前导知识:抛物线平移**
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填空题：
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将抛物线$y=-x^2$向右平移一个单位，所得函数解析式为( $y=-(x-1)^2$ )
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分析：直接根据 **左加右减** 的原则进行解答即可．
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考点: 二次函数图象与几何变换．
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所以，右移两个单位，新方程就是$y=(x-2)^2+4(x-2)-1$
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$y=x^2-4x+4+4x-8-1$
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$y=x^2-5$
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由于点$C$是两个抛物线的交点，所以就是联立两个方程：
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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y=x^2+4x-1 & \\
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y=x^2-5 &
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\end{matrix}\right.
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$$
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$\therefore C(-1,-4)$
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- 由于$D$是原抛物线对称轴上一点,所以横坐标已知，为$-2$,纵坐标不知道，设为$t$,则$D(-2,t)$
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- 设$E$点坐标为$(m,n)$
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现在想要知道，是不是存一个菱形$BCDE$
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步骤：
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- 转化为等腰三角形存在性问题确定第三点
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- 根据翻折确定第四点
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<font color='red' size=4><b>解释：因为菱形的四条边都相等，当一条边的两个点确定的时候，只要找出的第三点能够构成等腰三角形，这个点就是菱形的第三点。
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另外，只要等腰三角形确定，就可以通过翻折找出对应的菱形。
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</b></font>
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$BC$的等腰三角形存在性问题，就是在两圆一线上！
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另外，$D$点要求在原抛物线的对称轴上，所以图中的蓝色点都是可能的答案。
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<font color='red' size=4><b>坑：</b></font>
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最下方的圆与原抛物线对称轴交点的蓝色点(西瓜视频字里面那个半蓝色的点)需要舍掉，原因是经过验证，此点与$B,C$三点共线，无法组成三角形，不符合要求，舍掉。
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代数法求解坐标：
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(1)确定点坐标，不知道的用变量描述
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(2)等腰就是两条边的欧几里得距离相等，这里直接取平方计算，方便。
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(3)平方两两相等，就可以得到$5$个点的坐标，再通过上面的分析，舍掉最后一个点，得到四个点的坐标
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最后一步，开始翻折解决问题：
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因为菱形就是一个平行四边形，有相应的规律：
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**这条对角线的坐标相加，等于，另一条对角线的坐标相加**
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$C(-1,-4),D坐标上面求出了，B(0,-1),E(m,n)$
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$X_D+X_C=X_B+X_E$
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$-2-1=0+m$
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$m=-3$
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$Y_D+Y_C=Y_B+Y_E$
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$-1+\sqrt{6}-4=-1+n$
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$n=-4+\sqrt{6}$
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$\therefore M_1(-3,-4+\sqrt{6})$
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同理，解得
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$M_2(-3,-4-\sqrt{6})$
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$M_3(-1,2)$
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$M_4(1,-3)$
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