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#### 题目解析
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第一问比较简单，说是用 待定系数法，将已知点坐标代入到二次函数方程和直线方程，然后联立方程组求解即可：
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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0=-1-b+c & \\
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3=-4+2b+c &
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\end{matrix}\right.
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$$
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$\therefore b=2,c=3$
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即抛物线方程$y=-x^2+2x+3$
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直线方程$y=kx+b $
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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0=-k+b & \\
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3=2k+b &
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\end{matrix}\right.
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$$
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$\therefore b=1,k=1$
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直线方程就是$y=x+1$
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**直接求出$D$点坐标**
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直接利用 **顶点坐标公式**:
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$$
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\large \left\{\begin{matrix}
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x=-\frac{b}{2a} & \\
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y=\frac{4ac-b^2}{4a} &
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\end{matrix}\right.
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$$
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将$a,b$代入即可求出
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$x=1,y=4$
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**重点是第$2$问**
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在抛物线上的动点求面积最大值，使用的办法是 **铅垂法**
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就是由动点$P$向$x$轴引出一条平行于$y$轴的垂线，与直线$AC$相交，设交点为$M$
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$\therefore S_{\triangle PAC}=S_{\triangle PAM}+S_{\triangle PMC} $
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- $P$的坐标是设未知数$x=m$,然后通过二次函数获取到的$y=-m^2+2m+3$
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- $M$的坐标是通过直线方程求出的，将$x=m$代入直线方程，可得$y=m+1$
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$S=\frac{1}{2} PM * (C横坐标 -A横坐标)$
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$=\frac{1}{2}(-m^2+2m+3-m-1)*(2-(-1))$
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$=(-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}m+1)*3$
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$=-\frac{3}{2}(m^2-m-2)$
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$=-\frac{3}{2}(m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{8}$ **配方法**
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$\therefore m=\frac{1}{2}$时，$S$最大，最大值是$\frac{27}{8}$
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最后不要忘记检验，因为题目中说了，动点$P$是在$AC$上方的，所以$M$需要在$-1,2$之间。现在$m=\frac{1}{2}$是在$(-1,2)$之间的，符合要求，答案就是$\frac{27}{8}$ |