## [$AcWing$ $1084$. 数字游戏 $II $](https://www.acwing.com/problem/content/1086/)

### 一、题目描述
由于科协里最近真的很流行数字游戏。

某人又命名了一种取模数，这种数字必须满足各位数字之和 $mod$ $N$ 为 $0$。

现在大家又要玩游戏了，指定一个整数闭区间 $[a.b]$，问这个区间内有多少个取模数。

**输入格式**
输入包含多组测试数据，每组数据占一行。

每组数据包含三个整数 $a,b,N$。

**输出格式**
对于每个测试数据输出一行结果，表示区间内各位数字和 $mod$ $N$ 为 $0$ 的数的个数。

**数据范围**
$1≤a,b≤2^{31}−1,1≤N<100$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
1 19 9
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
2
```

### 二、解题思路
* 以$u$,$st \% mod$为两维数组进行缓存 
* 以$u$,$st \% mod$,$mod$为三维数组进行缓存
  
因为取模的值是每次全新录入的，同时，模值并不大，小于等于$100$,这是我们可以采用以$mod$为第三维缓存结果创造了条件。如果模值是$1e5$的话，个人理解就不能这么干了，就老实的用方法$1$,每次老老实实的`memset(f,-1,sizeof ~f)`吧。

### 三、二维数组状态描述法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 32;
const int M = 100; // n<=100,所有 mod n 的结果最大是99

int mod;
int a[N], al;
int f[N][M];

int dfs(int u, int st, bool op) {
    if (u == 0) return st % mod == 0; // 各位数字和 %n == 0就是一个答案

    if (!op && ~f[u][st]) return f[u][st];

    int ans = 0, up = op ? a[u] : 9;
    for (int i = 0; i <= up; i++)
        ans += dfs(u - 1, (st + i) % mod, op && i == a[u]);

    if (!op) f[u][st] = ans;
    return ans;
}

int calc(int x) {
    // 疑问：为什么本题不能将memset放在整体上呢？是因为取模造成的吗？
    // 答：是的，因为n是每次全新输入的,如果有兴趣，可以再加一维，维护n
    memset(f, -1, sizeof f);
    al = 0;
    while (x) a[++al] = x % 10, x /= 10;
    // 某人又命名了一种取模数，这种数字必须满足各位数字之和 mod N 为 0。
    // 前0位数字和为0,st = 0
    return dfs(al, 0, true);
}

int main() {
    int l, r;
    while (cin >> l >> r >> mod)
        printf("%d\n", calc(r) - calc(l - 1));
    return 0;
}
```

### 四、三维数组状态描述法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 32;
const int M = 100; // n<=100,所有 mod n 的结果最大是99

int mod;
int a[N], al;
int f[N][M][M];

int dfs(int u, int st, bool op) {
    if (u == 0) return st % mod == 0; // 各位数字和 %n == 0就是一个答案

    if (!op && ~f[u][st][mod]) return f[u][st][mod];

    int ans = 0, up = op ? a[u] : 9;
    for (int i = 0; i <= up; i++)
        ans += dfs(u - 1, (st + i) % mod, op && i == a[u]);

    if (!op) f[u][st][mod] = ans;
    return ans;
}

int calc(int x) {
    al = 0;
    while (x) a[++al] = x % 10, x /= 10;
    // 某人又命名了一种取模数，这种数字必须满足各位数字之和 mod N 为 0。
    // 前0位数字和为0,st = 0
    return dfs(al, 0, true);
}

int main() {
    // 疑问：为什么本题不能将memset放在整体上呢？是因为取模造成的吗？
    // 答：是的，因为n是每次全新输入的,如果有兴趣，可以再加一维，维护n
    memset(f, -1, sizeof f);

    int l, r;
    while (cin >> l >> r >> mod)
        printf("%d\n", calc(r) - calc(l - 1));
    return 0;
}
```