## 对数知识推导及应用
### 一、对数知识
#### 1、对数概念
如果$\large N=a^x$,那么数$x$称为以$a$为底$N$的对数。记做：
$$\large x=log_aN$$
其中，$a$称做底数，$N$称做真数。需要注意的是底数$a$的限制条件：$a>0,a \neq 1$。
#### 2、对数与指数关系
对数与指数互为逆运算：
* 指数运算: 求$10$的$2$次方，即：$\large 10^2=100$
* 对数运算：求$10$的多少次方等于$100$，即：$\large log_{10}100=2$
#### 3、对数形式
* 常用对数：以$10$为底的对数记做：$\large log_{10}N=lgN$
* 自然对数：以无理数$e=2.71828...$为底数的对数简记为：$lnN$
[自然底数$e$的含义](https://www.toutiao.com/article/6986077169411703310)
* 一般对数：$log_aN$
#### 4、对数性质
$1$的对数
$1$的对数是$0$:
$$\large log_a1=0$$
积的对数
$$\large log_aMN=log_aM+log_aN$$
证明：设$\large log_aM=p,log_aN=q$
则$\large a^p=M,a^q=N$,代入$\large log_aMN$,
得$\large log_aMN=log_a({a^p\cdot a^q})=log_a{a^{p+q}}=p+q=log_aM+log_aN$
**证毕**
---
商的对数
$$\large log_a{\frac{M}{N}}=log_aM-log_aN$$
证明：设$\large log_aM=p,log_aN=q$
则$\large a^p=M,a^q=N$,代入$\large \displaystyle log_a{\frac{M}{N}}$,
得$\large \displaystyle log_a{\frac{M}{N}}=log_a{(\frac{a^p}{a^q})}=log_a{a^{p-q}}=p-q=log_aM-log_aN$
**证毕**
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幂的对数
$$\large log_aM^b=b\cdot log_aM$$
证明：设$\large log_aM=p$,则$\large a^p=M$
则$\large a^p=M$,代入 $\large log_aM^b$
得$$\large log_aM^b=log_a{(a^p)^b}=log_a{a^{p\cdot b}}=pb=b\cdot log_aM$$
**证毕**
---
对数恒等式
$$\large a^{log_aM}=M$$
证明： 设$\large \displaystyle log_aM=p$,则$\large \displaystyle a^p=M$,代入$\large \displaystyle a^{log_aM}$
得$\large \displaystyle a^{log_aM}=a^{log_aa^p}=a^p=M$
**证毕**
---
#### 5、换底公式
$$\large log_bN=\frac{log_aN}{log_ab}$$
证明：
设$\large log_bN=x$,则$\large b^x=N$
两边同时取以$a$为底的对数
$$\large log_ab^x=log_aN \\
x\cdot log_ab=log_aN \\
x=\frac{log_aN}{log_ab} \\
即log_bN=\frac{log_aN}{log_ab}
$$
---
#### 6、其他公式
$$\large log_{a^n}a=\frac{1}{n}$$
证明：
设$\large log_{a^n}a=p$
则$\large (a^n)^p=a$,即$\large a^{np}=a$
两边同时取以$10$为底对数，$$\large lga^{np}=lga \\
\Rightarrow np \cdot lga=lga \\
\Rightarrow
np=1 \\
\Rightarrow p=\frac{1}{n}
$$
**证毕**
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$$\large \frac{1}{log_ab}=log_ba $$
证明：
用换底公式：
$$\large \frac{1}{log_ab}=\frac{1}{\frac{lgb}{lba}}=\frac{lga}{lgb}=log_ba$$
**证毕**
---
$$\large log_{a^n}M=\frac{1}{n}\cdot log_aM $$
证明：设$\large log_aM=p$
则$\large a^p=M$,代入$\large log_{a^n}M$
$$\large log_{a^n}a^p=p\cdot log_{a^n}a=\frac{1}{n}\cdot p=\frac{1}{n}\cdot log_aM$$
**证毕**
---
### 二、典型应用
#### 1、求数$a$的位数
~~暴力解法~~
```c++
#include
int a,b;
int main(){
scanf("%d",&a);
while(a){
a=a/10;
b++;
}
printf("%d ",b);
return 0;
}
```
可以吗？可以，就是如果算的数太多，而且每个数很大，就太慢了，人总是贪婪的，想要更快的办法：
公式
$$\large a的位数 = log_{10}(a) + 1$$
证明:
假设 $10^{x-1} <= a < 10^{x}$,(想一想 $100$,$999$和$1000$) ，可见$a$的位数为 $x$ 位。
我们再对上式用 $log_{10}$
$$\large log_{10}10^{x-1}<=log_{10}a
#include
using namespace std;
int main(){
int n;
cin>>n;
cout<<(int)(log10(n))+1;
return 0;
}
```
---
#### 2、求数$n!$的位数
**1、递推法**
先利用一下求数字$a$的位数公式：
$$\large n!的位数=log_{10}(n!)+1$$
展开一下阶乘的概念
$$\large =log_{10}(n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times1)+1$$
利用积的对数性质
$$\large =log_{10}(n)+log_{10}(n-1)+…+log_{10}(1)+1$$
编程时，利用这个递推的关系**由小到大**进行递推即可。
#### 练习题
[$POJ$ $1423$](http://poj.org/problem?id=1423)
```c++
#include
#include
#include
using namespace std;
/*
思想：底数相同的两个数相乘底数不变，指数相加。
通过log10(x)得到指数，依次相加即可，即可以得到阶乘的位数
*/
const int N = 10000010;
int a[N];
int main() {
//预处理出阶乘的位数
double x = 0;
for (int i = 1; i < N; i++) {
x += log10((double)i); // POJ对于log10(i)会报编译错误，需要转为double
a[i] = x + 1;
}
// T次询问
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", a[n]);
}
return 0;
}
```
这样的做法时间复杂度为 $O(n)$ ，当$n$的范围特别大时就不好用了，下面我们来找到$O(1)$的做法 斯特林公式 :
**2、斯特林($Stirling$)公式**
斯特林公式 ： 是一条用来 计算$n$的阶乘近似值 的数学公式。一般来说，当$n$很大的时候，$n$阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用，即使在$n$很小的时候，斯特林公式的取值也十分准确。
$$\LARGE n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$
* 用斯特林公式求$n!$
* 再用求$a$的位数公式计算$n!$的位数：$$\displaystyle \LARGE log_{10}( \sqrt{2\pi n} *(\frac{n}{e})^n)+1$$
变形一下：
$$\LARGE log_{10}(2\pi n)/2+nlog_{10}(n/e)+1$$
#### 练习题
[$POJ$ $1423$](http://poj.org/problem?id=1423)
```c++
#include
#include
#include
#include
#include