##[$AcWing$ $4$. 多重背包问题 I](https://www.acwing.com/problem/content/description/4/)

### 一、题目描述
有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出**最大价值**。

**输入格式**
第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

**输出格式**
输出一个整数，表示最大价值。

**数据范围**
$0<N,V≤100$
$0<v_i,w_i,s_i≤100$

**输入样例**
```cpp {.line-numbers}
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
```
**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
10
```

### 二、分析过程


<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/17/55909_ba412471cf-IMG_4AD8EC65CFE1-1.jpeg'></center>

* **状态表示**
集合：所有只从前$i$个物品中选，并且总体积不超过$j$的选法
属性：集合中每一个选法对应的总价值的最大值

* **状态计算**
就是一个集合划分的过程，就是和完全背包很像，但不像完全背包有无穷多个，而是有数量限制

* 初始状态：`f[0][0]`
* 目标状态：`f[n][m]`

#### 状态转移方程
$$\large f[i][j] = max\{(f[i-1][j − k*v[i]] + k*w[i]) 　 | 　0 ≤ k ≤ s[i],j>=k*v[i]\}$$

### 三、实现代码（二维数组）
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;

int f[N][N];
int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 讨论每个物品
        int w, v, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for (int j = 0; j <= m; j++)                   // 讨论每个剩余的体积
            for (int k = 0; k <= s && v * k <= j; k++) // 讨论加入的个数
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + w * k);
    }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}
```

### 四、实现代码（一维数组)
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for (int j = m; j >= v; j--)
            for (int k = 0; k <= s && k * v <= j; k++)
                f[j] = max(f[j], f[j - v * k] + w * k);
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```