### 韦达定理 ![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/30768d03bc56e516b4bd556beb1813e1.png) ### 练习题一 ![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/13774583fc1b2ade19080badbfadebff.png) **解题过程**: 直接求解一元二次方程?不行的,因为方程里面除了$x$外,还有一个$a$,没法直接解的。 从方程的两个根$x_1,x_2$看的出来,可以使用韦达定理。 $$ \large \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-\frac{b}{a}&=1-3a \\ x_1 x_2=\frac{c}{a}&=2a^2-1 \end{matrix}\right. $$ 目标式:$(3x_1-x_2)(x_1-3x_2)=3x_1^2-10 x_1 x_2+3x_2^2=3(x_1^2+x_2^2)-10x_1x_2$ 为了能转化为$x_1+x_2$的形式,需要进行一下配方: $=3(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)-10x_1x_2$ $=3(x_1+x_2)^2-16x_1x_2$ $=3(1-3a)^2-16(2a^2-1)$ $=3(1-6a+9a^2)-32a^2+16$ $=3-18a+27a^2-32a^2+16$ $-5a^2-18a+19=-80$ $5a^2+18a-19=80$ $5a^2+18a-99=0$ 转化为一元二次方程形式,根据求根公式,计算 $a=\frac{-18 \pm \sqrt{18^2+4*5*99}}{2\times 5}$ $a=\frac{-18 \pm 48}{10}$ $\therefore a_1=-6.6,a_2=3$ **易错点** 因为使用了求根公式,能够得到实数根的前提是方程有实数根,即要求$\triangle=b^2-4ac>=0$ 验证一下两个根: 计算$\triangle=b^2-4ac=(3a-1)^2- 4 \times (2a^2-1)$ - $a_1=3$代入,$\triangle=8^2-4\times 17=-4<0$ ,此解需要舍去 - $a_2=-6.6$代入,$20.8^2-4\times (-2*6.6*6.6-1)>0$ 所以,最终的答案只有$a=-6.6$