![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/7c13ce5c8f3ad63ffaca1fa40b11a027.png)

将$\triangle AFD$ 旋转到$ABF'$,因为$\angle D=90^{\circ}$,所以$F',B,E,C$共线。

因为是旋转得到$\triangle AF'B$,所以$\triangle AF'B \cong ADF$

所以$DF=BF',\angle DAF=\angle BAF'$
双因为$\angle BAE +\angle FAD=45^{\circ}$
所以$\angle F'AB+\angle BAE=\angle F'AE=45^{\circ}$

$AF'=AF,\angle F'AE=\angle EAF,AE=AE$ 根据$ASA$，所以$\triangle F'AE \cong \triangle EAF$ ①**证毕**

$BE+DF=BE+BF'$ 旋转得到
$BE+BF'=EF$ ②**证毕**

$EF=EF'=BE+BF'=BE+FD$
$\therefore C_{\triangle CEF}=CE+CF+EF=CE+CF+BE+FD=BC+CD=2AB$ ③**证毕**

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![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/62ce83ec2da1b52054ff4b35227eeca3.png)

因为$\triangle AF'E \cong \triangle AEF$
$\therefore \angle 1=\angle 2$
$\therefore \triangle BAE \cong EAH$ ⑥**证毕**

$\therefore \angle 3=\angle 4$
因此$AE$是$\angle BAH$平分线，④**证毕**


**求证**：$\angle 5=\angle 7$
$\because \angle 4+\angle 5=45^{\circ}$
$\because \angle 3=\angle 4$
$\therefore \angle 3+ \angle 5=45^{\circ}$

$\because  \angle 7 + \angle 3=90^{\circ}-\angle EAF=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$

$\therefore \angle 5=\angle 7$

所以,$AF$是$\angle HAD$平分线，⑤**证毕**

$\therefore \triangle ADF \cong \triangle AHF$
⑦ **证毕**

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![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/02/6814e9b5e0190de95225741ae64e7b1a.png)

求证:$MA=MF$

因为$\angle 1=\angle 2$  已经证明的全等三角形
$\angle 1=\angle 8$ 平行边内错角相等
$\therefore \angle 2=\angle 8$
$\triangle ANE$是等腰三角形，$AN=NE$ ⑨ **证毕**

$\because \triangle AHF \cong \triangle ADF$
$\therefore \angle HFA=\angle 9$

$\because \angle 9=\angle MAF$ 平行线内错角相等

$\therefore \angle HFA=\angle MAF$

所以$\triangle MAF$是一个等腰三角形
$\therefore MF=MA$  ⑧**证比**

⑩ 一看就是 $12345$模型了，因为$tan \alpha=\frac{1}{2},\alpha+\beta=45^{\circ}$
$\therefore tan \beta=\frac{1}{3}$
 **证毕**,忘记怎么证明的时候，回去复习一下　$12345$模型即可。