#### 关键点
- 数形结合
- 确定对称轴
- 对于$a>0,a<0$分类讨论
- 对结果要验证是不是符合前提条件
- $S_{\triangle BMP}$表示为$\frac{1}{2}BM*PH$
其中$PH$可以视为$P$的$y$坐标
$S_{\triangle BMP}=\frac{1}{2}BM*PH=\frac{1}{2}|X_M-X_B||y_p|$
下面来思考$X_M$是什么？
$M$是直线$AM$与$X$轴的交点,那$AM$又是啥呢？
$AM$是与$AP$垂直的，设$AP$的直线方程为
$y=kx+b$,则$b=1$(因为直线$AP$)交$y$轴于$A$点,
截距是$1$,同时$P$同时出现在二次函数和直线$x=1$上:
将$x=1$代入$y=ax^2-2ax+c=ax^2-2ax+1=a-2a+1$
$y=1-a$,所以$P(1,1-a)$
所以$AP$的直线方程就是把$A(0,1),P(1,1-a)$代入$y=kx+b$即可求出$k=-a$
$\because AM$与$AP$垂直，根据:
两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1。
知道：$k_{AM}=\frac{1}{a}$
即$y=\frac{1}{a}x+1$就是$AM$的直线方程
当$y=0$时解得：$x=-a$,即$M(-a,0)$
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$\frac{1}{2}|X_M-X_B||y_p|$
=$\frac{1}{2}|2-a||1-a|$
分情况讨论解出$a$即可：
$$
\large \left\{\begin{matrix}
a<1 & S=\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+1 \\
a>2 & S=\frac{1}{2}a^2-\frac{3}{2}a+1 \\
2>a>1 & S=-\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}a-1 \\
\end{matrix}\right.
$$
$a$是不能等于$1$的，因为$a=1$则$P$在$x$轴上，无法组成三角形
$a$是不能等于$2$的，因为如果$a=2$那么就和$B$重合了，也无法组成三角形
解得$a_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},a_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
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第二问：
由于$S$与$a$的关系是两条抛物线，一个开口向上，一个开口向下，我们计算一下对称轴的位置:
$-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$
计算一下顶点位置：
$\frac{4ac-b^2}{4a}$
(1) $4ac-b^2=4*(1/2)*1-(3/2)^2=2-9/4=-1/4$
$4a=2$
顶点$y=-1/8$
(2) 同理求出开口向下抛物线顶点=$\frac{1}{8}$
因为最高点在$\frac{1}{8}$,而题目要求$S>\frac{1}{8}$,所以这种可能不存在。
根据图形结合知道，当$a<\frac{3-\sqrt{2}}{2}$或$a>\frac{3+\sqrt{2}}{2}$时是答案