## [$AcWing$ $1098$. 城堡问题](https://www.acwing.com/problem/content/1100/) ### 一、题目描述 ```cpp {.line-numbers} 1 2 3 4 5 6 7 ############################# 1 # | # | # | | # #####---#####---#---#####---# 2 # # | # # # # # #---#####---#####---#####---# 3 # | | # # # # # #---#########---#####---#---# 4 # # | | | | # # ############################# (图 1) # = Wall | = No wall - = No wall 方向：上北下南左西右东。 ``` 图$1$是一个城堡的地形图。 请你编写一个程序，计算城堡一共有多少房间，最大的房间有多大。 城堡被分割成 $m∗n$ 个方格区域，每个方格区域可以有$0\sim 4$面墙。 注意：墙体厚度忽略不计。 **输入格式** 第一行包含两个整数 $m$ 和 $n$，分别表示城堡南北方向的长度和东西方向的长度。 接下来 $m$ 行，每行包含 $n$ 个整数，每个整数都表示平面图对应位置的方块的墙的特征。 每个方块中墙的特征由数字 $P$ 来描述，我们用$1$表示西墙，$2$表示北墙，$4$表示东墙，$8$表示南墙，$P$ 为该方块包含墙的数字之和。 例如，如果一个方块的 $P$ 为$3$，则 $3 = 1 + 2$，该方块包含西墙和北墙。 城堡的内墙被计算两次，方块$(1,1)$的南墙同时也是方块$(2,1)$的北墙。 输入的数据保证城堡至少有两个房间。 **输出格式** 共两行，第一行输出房间总数，第二行输出最大房间的面积（方块数）。 **数据范围** $1≤m,n≤50,0≤P≤15$ **输入样例**： ```cpp {.line-numbers} 4 7 11 6 11 6 3 10 6 7 9 6 13 5 15 5 1 10 12 7 13 7 5 13 11 10 8 10 12 13 ``` **输出样例**： ```cpp {.line-numbers} 5 9 ``` ### 二、前置知识 这道题的输入挺有意思，为一些数字，其实是理解为$0 \sim 15$的十进制数，转为二进制就是$(0000)_2 \sim (1111)_2$,这四个数位，是表示四个方向： **$1$表示西墙，$2$表示北墙，$4$表示东墙，$8$表示南墙** 每个方向存在数字$1$表示此方向 **有墙**，$0$表示 **无墙** 用墙维起来的是房间,求 **房间个数** 和 **最大面积** 对于十进制转二进制，并输出二进制的每个数位的值，办法如下： ```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; int main() { //将十进制转为二进制，并输出每个二进制位的值是0还是1 int n = 13; for (int i = 3; i >= 0; i--)//共4个数位 cout << (n >> i & 1) << " "; return 0; } ``` ### 三、$bfs$宽度优先搜索 ```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; typedef pair PII; #define x first #define y second const int N = 55, M = N * N; int n, m; int g[N][N]; // 地图 PII q[M]; // 队列 bool st[N][N]; // 标识是否走过 int dx[] = {0, -1, 0, 1}; // 左上右下 int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; // 西北东南 1 2 4 8 二进制位运算，参考1098_0.cpp int bfs(int sx, int sy) { int hh = 0, tt = -1; q[++tt] = {sx, sy}; st[sx][sy] = true; // 一次bfs跑一个连通块，统计一个连通块的面积 int area = 1; // 既然能入队列，最起码有入口房间，是一个面积 while (hh <= tt) { PII t = q[hh++]; for (int i = 0; i < 4; i++) { int tx = t.x + dx[i], ty = t.y + dy[i]; if (tx == 0 || tx > n || ty == 0 || ty > m) continue; if (st[tx][ty]) continue; // 1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙 if (g[t.x][t.y] >> i & 1) continue; // 前进的方向上有墙 // 连通的房间入队列 q[++tt] = {tx, ty}; st[tx][ty] = true; area++; // 入队列时房间面积++ } } return area; } int cnt, area; // 房间数，最大面积 int main() { cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> g[i][j]; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) if (!st[i][j]) { // 从此点出发找连通块 area = max(area, bfs(i, j)); cnt++; // 记录连通块个数 } printf("%d\n%d\n", cnt, area); return 0; } ``` ### 四、$dfs$深度优先搜索 [$void$+全局变量法] ```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; const int N = 55; int g[N][N]; int st[N][N]; int n, m, ans; //注意这里的ans不能做为dfs参数进行传递，因为维护的是同一个变量 int dx[] = {0, -1, 0, 1}; //左上右上 int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; //西北东南 1 2 4 8 二进制位运算，参考1098_0.cpp void dfs(int sx, int sy) { st[sx][sy] = true; //标识此位置已访问过 ans++; //到达一个位置，那么面积肯定增大一个 for (int i = 0; i < 4; i++) { int x = sx + dx[i], y = sy + dy[i]; if (x == 0 || x > n || y == 0 || y > m) continue; if (st[x][y]) continue; if (g[sx][sy] >> i & 1) continue; //自带数位压缩表示法~,有墙 dfs(x, y); } } int cnt, area; int main() { cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> g[i][j]; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) if (!st[i][j]) { cnt++; //连通块数量 ans = 0; //清零重新统计 dfs(i, j); //开始Flood Fill area = max(area, ans); // PK目前的最大面积 } //输出结果 printf("%d\n%d\n", cnt, area); return 0; } ``` ### 五、$dfs$深度优先搜索 [$int$+参数变量法] ```c++ #include using namespace std; const int N = 55; int g[N][N]; int st[N][N]; int n, m; int dx[] = {0, -1, 0, 1}; // 左上右上 int dy[] = {-1, 0, 1, 0}; // 西北东南 1 2 4 8 二进制位运算，参考1098_0.cpp int dfs(int sx, int sy) { st[sx][sy] = true; // 标识此位置已访问过 int ans = 1; // 自己贡献一个面积 for (int i = 0; i < 4; i++) { int tx = sx + dx[i], ty = sy + dy[i]; if (tx == 0 || tx > n || ty == 0 || ty > m) continue; if (st[tx][ty]) continue; if (g[sx][sy] >> i & 1) continue; // 自带数位压缩表示法~,有墙 ans += dfs(tx, ty); // 孩子们继续贡献面积 } return ans; // 我们的总面积 } int cnt, area; int main() { cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> g[i][j]; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) if (!st[i][j]) { cnt++; // 连通块数量 area = max(area, dfs(i, j)); // PK目前的最大面积 } // 输出结果 printf("%d\n%d\n", cnt, area); return 0; } ``` ### 六、总结与反思 * $bfs$时，需要注意一下起点的初始加入，标记个数++ * $dfs$时，也是在进入函数执行时，就意味着此位置可达，标识个数++ ### 七、并查集解法 > $2022-10-08$晚 补充 这道题难度并不大，只要熟练使用 **并查集** 即可。给我们一张地图，`#`代表墙壁，我们用`1`表示西墙，`2`表示北墙，`4`表示东墙，`8`表示南墙，将**没有墙壁隔开的连通的方块记为一个房间**，题目共有两问： * 房间的总数 * 最大的房间的面积 这道题可以使用 **并查集** 和 $FloodFill$ 来做，这里讲解一下使用 **并查集** 的做法。 我们可以从城堡 **左上角** 开始 **逐行枚举**，每次枚举 **北边** 和 **东边** 两个方向(当然，也可以是 **南边** 和 **东边** 两个方向)，就可以**不漏的将可以连接在一起的房间都尽可能的连通**，假设枚举到的位置的数$p=9$，我们需要枚举他东边的墙，我们只需要让$p \& 4$判断是否是$1$，若是$1$则证明 **东边有墙** 。当枚举到的方向没有墙的话，我们就是用 **并查集** 将这两个方块加入到一个连通块中，初始`cnt=n*m`，也就是开始的时候有`n*m`个房间，我们 **连通一次，少一个房间**，最后`cnt`就是房间的个数。 如图，共有五个房间：
```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; const int N = 55, M = N * N; // 1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙 // 模拟向北和向东两个方向 int dx[] = {-1, 0}; // 向北走时，x-1,y不变；向东走时，x不变，y+1 int dy[] = {0, 1}; int dw[] = {2, 4}; // 2:北墙, 4:东墙 // 模拟向东和向南两个方向 也是可以的 // int dx[] = {0, 1}; //向东走时，x不变，y+1; 向南走时，x+1,y不变 // int dy[] = {1, 0}; // int dw[] = {4, 8}; // 4:东墙, 8：南墙 // 模拟向南向西 也是可以的 // int dx[] = {1, 0}; //向南走时，x+1,y不变；向西走时，x不变，y-1 // int dy[] = {0, -1}; // int dw[] = {8, 1}; // 8:南墙, 1:西墙 // 模拟向南向东 也是可以的 // int dx[] = {1, 0}; //向南走时，x+1,y不变；向东走时，x不变，y+1 // int dy[] = {0, 1}; // int dw[] = {8, 4}; // 8:南墙, 4:东墙 int n, m; // n行m列 int g[N][N]; // 地图 int p[M], sz[M]; // 并查集数组，与并查集内成员个数 int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int main() { // 读入地图 cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) cin >> g[i][j]; // 初始化并查集 for (int i = 0; i < M; i++) p[i] = i, sz[i] = 1; // 每个人是自己的祖先，并且自己家族的成员数量为1 int cnt = n * m, area = 1; // 总共最多有n*m个房间，最大面积最小是1 // 开始从上到下，从左到右，枚举每个位置 for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) // 探讨这个位置的房间，是不是能够向北和向东两个方向前进，也就是检查向北和向东是不是会遇到墙 for (int u = 0; u < 2; u++) if (!(g[i][j] & dw[u])) { // 如果没有遇到墙 int x = i + dx[u], y = j + dy[u]; // 获取新的位置 if (x <= 0 || x > n || y <= 0 || y > m) continue; // 出界判断 int a = (i - 1) * m + j, b = (x - 1) * m + y; // a是指原位置的编号,b是指拓展后位置的编号 // int a = i * m + j, b = x * m + y; //并查集的编号其实是很灵活的，不是非得啥号不可.上面的那行代码一样可以AC // join 合并并查集 a = find(a), b = find(b); if (a != b) { cnt--; // 合并后，连通块的数量将少了一个 sz[b] += sz[a]; // a家族成员加入b家族中 p[a] = b; // a认b做父亲 area = max(area, sz[b]); // 更新答案 } } // 输出房间总数，输出最大面积 printf("%d\n%d\n", cnt, area); return 0; } ```