#include using namespace std; typedef long long LL; const int N = 100010, M = 300010; const int INF = 0x3f3f3f3f; typedef pair PII; int f[N][16]; // f[i][k]表示树上的某节点i向上走2^k步到达的节点 PII d[N][16]; // d[i][k]表示树上的某节点i向上走2^k步到达的节点最长距离和次长距离 int depth[N]; // 深度数组 // Kruskal用的结构体 struct Edge { int a, b, c; // 从a到b边权为c bool flag; // 是不是最小生成树的树边 const bool operator<(const Edge &ed) const { return c < ed.c; } } edge[M]; // 邻接表 int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M]; void add(int a, int b, int c) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++; } // 并查集 int p[N]; int find(int x) { if (x == p[x]) return x; return p[x] = find(p[x]); } // 树上倍增求任意两点最短距离 int bfs(int root) { queue q; q.push(root); depth[root] = 1; while (q.size()) { int u = q.front(); q.pop(); for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!depth[j]) { q.push(j); depth[j] = depth[u] + 1; // 记录深度 f[j][0] = u; // 记录2^0->t,描述父节点 // 下面是与普通的倍增不一样的代码,记录两点间最大长度与次大长度 d[j][0] = {w[i], 0}; // j->t 的最大距离与次大距离 for (int k = 1; k <= 15; k++) { // 倍增 int v = f[j][k - 1]; // 设j跳2 ^(k-1)到达的是v点 f[j][k] = f[v][k - 1]; // v点跳 2^(k-1)到达的终点就是j跳2^k的终点 // ①最大边权一定是两个线段中最长边权的最大值 d[j][k].first = max(d[j][k - 1].first, d[v][k - 1].first); // ②次大边权分情况讨论 // 如果前半段的最大值 小于 后半段的最大值 // 次大值 等于 max(前半段最大值,后半段次大值) if (d[j][k - 1].first == d[v][k - 1].first) // 次大值 等于 max(前半段次大值,后半段次大值) d[j][k].second = max(d[j][k - 1].second, d[v][k - 1].second); // 如果前半段的最大值 等于 后半段的最大值 else if (d[j][k - 1].first < d[v][k - 1].first) d[j][k].second = max(d[j][k - 1].first, d[v][k - 1].second); // 如果前半段的最大值 大于 后半段的最大值 else // 次大值 等于 max(前半段次大值,后半段的最大值) d[j][k].second = max(d[j][k - 1].second, d[v][k - 1].first); } } } } } // 因为同时需要同步修改最大值和次大值,所以采用了地址符&引用方式定义参数 // m1:最大值,m2:次大值 void cmp(int &m1, int &m2, PII x) { if (m1 == x.first) m2 = max(m2, x.second); else if (m1 < x.first) m2 = max(m1, x.second), m1 = x.first; else m2 = max(m2, x.first); } // 最近公共祖先 // 由a->b的边,边权是w // 返回值:如果加上这条边w,去掉最小生成树中的某条边(m1或m2),得到一个待选的次小生成树 // 此时的 w- m1 或者 w-m2的值是多少。 // 具体是-m1,还是-m2,要区别对待,因为如果w=m1,就是-m2,否则就是-m1 // 利用倍增的思想,对bfs已经打好的表 d数组和f数组 进行快速查询 // 找出a->b之间的最大距离和次大距离 int lca(int a, int b, int w) { if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b); // 保证a的深度大于b的深度 int m1 = -1e18, m2 = -1e18; // 最大边,次大边初始化 for (int k = 15; k >= 0; k--) // 由小到大尝试 if (depth[f[a][k]] >= depth[b]) { // 让a向上跳2^k步 cmp(m1, m2, d[a][k]); // a向上跳2^k步时,走过的路径中可能存在最大边或次大边 a = f[a][k]; // 标准的lca } // 当a与b不是同一个点时,此时两者必须是depth一样的情况,同时向上查询2^k,必然可以找到LCA if (a != b) { for (int k = 15; k >= 0; k--) if (f[a][k] != f[b][k]) { cmp(m1, m2, d[a][k]); // a向上跳2^k步时,走过的路径中可能存在最大边或次大边 cmp(m1, m2, d[b][k]); // b向上跳2^k步时,走过的路径中可能存在最大边或次大边 a = f[a][k], b = f[b][k]; } // 此时a和b到lca下同一层 所以还要各跳1步=跳2^0步 // 联想一下在普通版本LCA中的最终返回值就明白了 // return f[a][0]; cmp(m1, m2, d[a][0]); cmp(m1, m2, d[b][0]); } return w == m1 ? w - m2 : w - m1; } int main() { int n, m, a, b, c; scanf("%d %d", &n, &m); // 并查集初始化 for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; // 邻接表初始化 memset(h, -1, sizeof h); // Kruskal for (int i = 0; i < m; i++) { scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); edge[i] = {a, b, c, false}; } // 按边权排序+最小生成树 sort(edge, edge + m); LL sum = 0, ans = 1e18; for (int i = 0; i < m; i++) { a = find(edge[i].a), b = find(edge[i].b), c = edge[i].c; if (a != b) { p[a] = b; sum += c; // 最小生成树的边权总和 edge[i].flag = true; // 标识为最小生成树中的边 // 将最小生成树中的树边单独构建一个图出来 add(edge[i].a, edge[i].b, c), add(edge[i].b, edge[i].a, c); } } // 倍增预处理,记录任意点向上2^k步的最大值,次大值,深度等信息,后面lca会用到 bfs(1); // 用非树边去尝试替换最小生成树中的边,然后取min // lca查表 for (int i = 0; i < m; i++) if (!edge[i].flag) { // 枚举非树边 a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c; ans = min(ans, sum + lca(a, b, c)); } // 输出 printf("%lld\n", ans); return 0; }