##[$AcWing$ $5$. 多重背包问题 II](https://www.acwing.com/problem/content/description/5/)

### 一、与朴素版本的区别
区别在于数据范围变大了：现在是三个循环数据上限分别是$1000$(物品种数),$2000$(背包容积),第$i$种物品的体积、价值和数量的上限也是$2000$,原来的每个数字上限都是$100$！

三重循环的话，计算次数就是 $1000 * 2000 * 2000=4000000000=4 * 1e9 =40$亿次

$C++$一秒可以算$1e8$次，就是$1$亿次，$40$亿肯定会超时!

### 二、二进制优化

朴素多重背包做法的本质：将有数量限制的相同物品看成多个不同的$0-1$背包。

<font color='blue' size=4><b>优化思路：</b></font>
比如我们从一个货车搬百事可乐的易拉罐（因为我爱喝不健康的快乐水~），如果存在$200$个易拉罐，小超市本次要的数量为一个小于$200$的数字$n$,搬的策略是什么呢？

$A$、一个一个搬，直到$n$为止。

$B$、在出厂前打成$1$个一箱，$2$个一箱，$4$个一箱，$8$个一箱，$16$个一箱，$32$个一箱，$64$个一箱,乘下$73$个，不够下一轮的$128$个了,<font color='red'><b>该怎么办呢？剩下的打成$73$个一箱!</b></font>

>为什么要把剩下的$73$个打成一个包呢？不是再分解成$64$,$32$这样的组合呢？这是因为本质是化解为$01$背包，一来这么分解速度最快，二来可以表示原来数量的任何子集。


### 三、一维实现代码 <font color='red' size=4><b>【推荐】</b></font>
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010; // 个数上限
const int M = 2010; // 体积上限
int n, m, idx;
int f[M];

/*
Q:为什么是N*12?
A:本题中v_i<=2000,因为c数组是装的打包后的物品集合，每类物品按二进制思想，2000最多可以打log2(2000)+1个包，即　10.96578+1=12个足够,
同时，共N类物品，所以最大值是N*12。

如果题目要求v_i<=INT_MAX,那么就是log2(INT_MAX)=31,开31个足够,因为31是准确的数字，不需要再上取整。
为保险起见，可以不用计算数组上限，直接N*32搞定！
*/
struct Node {
    int w, v;
} c[N * 12];

int main() {
    cin >> n >> m;

    // 多重背包的经典二进制打包办法
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for (int j = 1; j <= s; j *= 2) { // 1,2,4,8,16,32,64,128,...打包
            c[++idx] = {j * w, j * v};
            s -= j;
        }
        // 不够下一个2^n时，独立成包
        if (s) c[++idx] = {s * w, s * v};
    }
    // 按01背包跑
    for (int i = 1; i <= idx; i++)
        for (int j = m; j >= c[i].v; j--) // 倒序
            f[j] = max(f[j], f[j - c[i].v] + c[i].w);
    // 输出
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```

### 四、二维+滚动数组代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010; // 个数上限
const int M = 2010; // 体积上限
int n, m, idx;
// 无法使用二维数组，原因是因为分拆后N*31*M=31*1010*2010太大了，MLE了
// 所以，需要使用滚动数组进行优化一下，思想还是二维的
int f[2][M];

struct Node {
    int w, v;
} c[N * 31];

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        for (int j = 1; j <= s; j *= 2) { // 1,2,4,8,16,32,64,128,...打包
            c[++idx] = {j * w, j * v};
            s -= j;
        }
        // 不够下一个2^n时，独立成包
        if (s) c[++idx] = {s * w, s * v};
    }

    // 按01背包跑就可以啦
    for (int i = 1; i <= idx; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i & 1][j] = f[i - 1 & 1][j];
            if (j >= c[i].v)
                f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[i - 1 & 1][j - c[i].v] + c[i].w);
        }

    // 输出
    printf("%d\n", f[idx & 1][m]);
    return 0;
}
```