##[$AcWing$ $278$. 数字组合](https://www.acwing.com/problem/content/280/)

**[【总结】背包问题的至多/恰好/至少](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15847138.html)**


### 一、题目描述

给定 $N$ 个正整数 $A_1,A_2,…,A_N$，从中选出若干个数，使它们的和为 $M$，求有多少种选择方案。

**输入格式**

第一行包含两个整数 $N$和 $M$。

第二行包含 $N$个整数，表示 $A_1,A_2,…,A_N$。

**输出格式**

包含一个整数，表示可选方案数。

**数据范围**
$1≤N≤100,1≤M≤10000,1≤A_i≤1000$,答案保证在 $int$ 范围内。

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
4 4
1 1 2 2
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
3
```


### 二、$01$背包求解恰好装满方案数

**分析**

对于本题我们可以把每个 **正整数** 看作是一个 **物品**

**正整数** 的值就是 **物品** 的 **体积**

我们方案选择的 **目标** 是最终 **体积** **恰好**为 $m$ 时的 **方案数**

于是本题就变成了 **$01$背包求解方案数** 的问题了



#### 状态表示
$f[i][j]:$考虑前$i$个数，当前总和 **恰好** 为$j$时，方案数量是多少。

#### 状态转移
![](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/10/55909_e9ca9ecac9-IMG_A4C6BDD331AD-1.jpeg)

-  不选$i$：$\large f[i][j] += f[i-1][j]$
-  选 $i$：   $\large f[i][j] += f[i-1][j-v[i]]$


####  初始状态：
`f[i][0]`=1
> **解释**：不管你让我从多少个物品中选择，只要是背包容量是$0$,那么方案就只有$1$种，就是，啥都不要。

#### 目标状态
`f[n][m]`

#### 时间复杂度
$O(n×m)$

### 三、二维代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;
int n, m;
int v;
int f[N][M];

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; // base case

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            // 从前i-1个物品中选择，装满j这么大的空间，假设方案数是5个
            // 那么，在前i个物品中选择，装满j这么大的空间，方案数最少也是5个
            // 如果第i个物品，可以选择，那么可能使得最终的选择方案数增加
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 增加多少呢？前序依赖是：f[i - 1][j - v]
            if (j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];
        }
    }
    // 输出结果
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}
```

### 四、一维代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 10010;

int n, m;
int v;
int f[N]; // 在前i个物品，体积是j的情况下，恰好装满的方案数

int main() {
    cin >> n >> m;

    // 体积恰好j, f[0]=1, 其余是0
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v;
        for (int j = m; j >= v; j--)
            f[j] += f[j - v];
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```

###　五、常见问题

#### $Q:$如果讨论的不是数量，而是最大价值，有什么区别呢？
$A:$我们可以将结论推广到不同属性的情况下，本题的属性是数量，但如果是最大价值呢？
我们不难得到需要将$f[0]$初始化为$0$，$f[1\sim n]$初始化为负无穷

为什么要这样设置呢？因为每一个新状态，都需要知道它可以从哪些旧状态转移而来，如果上一个状态是合法的，那么有可能从上一个状态转移而来，但如何标识上一个状态是不是合法呢？比如如果初始化状态值是$0$，并且上一个状态是$0$,表示的是目前的最大值，那要是不合法呢？不好说啊，为什么呢？

* 上一个状态不合法，没有状态转移过来
* 上一个状态合法，因为有负数等原因，造成最大值确实为$0$

这就很难办的，是吧。搞不清楚上一个状态是不是合法，我就没法决策是不是可以从它转移过来，我必须想办法对合法与不合法状态进行区分，是吧？

办法就是初始化为$-INF$,再转移啥负值，也不可能小于$-INF$,所以，很容易就区分开了是不是正常合法状态，还是从来就没有到达过的不合法状态。