## $CSP-J2019$年初赛试题及详细解析
<!-- 让表格居中显示的风格 -->
[视频讲解](https://www.bilibili.com/video/BV17f4y1o7Sg/?vd_source=13b33731bb79a73783e9f2c0e11857ae)

<style>
.center 
{
  width: auto;
  display: table;
  margin-left: auto;
  margin-right: auto;
}
</style>


### 一、单项选择题
（共15题，每题2分，共计30分；每题有且仅有一个正确选项）

#### 1. 中国的国家顶级域名是（）

$A$. $.cn$ $B$. $.ch$ $C$. $.chn$  $D$. $.china$

答案：$A$

**考点**：计算机基础-计算机网络-域名

解析：典型的国家顶级域名有 $.cn$ （中国）、$.us$ （美国）、$.uk$（英国）、$.jp$ （日本）、$.sg$ （新加坡）等。

典型的通用顶级域名有$.edu$（教育机构）、$.gov$ （政府部门）、$.net$（网络组织）、$.com$ （商业组织）、$.org$（非营机构）、$.mil$ （军事部门）等。

#### 2. 二进制数`11 1011 1001 0111`和`01 0110 1110 1011`进行**逻辑与**运算的结果 是（）。

```c++
  11 1011 1001 0111
 &01 0110 1110 1011
 ------------------
  01 0010 1000 0011  
```
答案：$D$

**考点**：计算机基础-数制与编码-二进制-位运算

解析：逐位进行与运算。对于每一位，$0$与$0$得$0$, $1$与$0$得$0$, $0$与$1$得$0$, $1$ 与$1$得$1$。

#### 3. 一个32位整型变量占用（）个字节。
$A$. 32 $B$. 128 $C$. 4 $D$. 8

答案：$C$

考点：计算机基础-计算机体系结构-内存空间

解析：$8$位是$1$字节，因此$32$位是$4$字节。在$C++$语言中，$int$是最常用的带符 号$32$位整型变量，可表示数值：[$-2^{31},2^{31}-1$], $unsigned$ $int$是最常用的无符号$32$位整型变量，可表示数值$[0, 2^{32}-1]$。

#### 4. 若有如下程序段，其中s、a、b、c均已定义为整型变量，且a、c均已赋值（c 大于0）
```c++
s = a;
for （b = 1; b <= c; b++） s = s - 1;
```
则与上述程序段功能等价的赋值语句是（）

$A. s = a - c; B. s = a - b; C. s = s - c; D. s = b - c;$

**答案**：$A$

考点:程序设计基础$C++$语法基础-循环语句

解析：$s$初始化为$a$,紧接着$for$循环$c$次，每次$s$减$1$,因此该程序段相当于
$s=a-c$。

#### 5. 设有$100$个己排好序的数据元素，采用折半查找时，最大比较次数为（）

$A. 7~ B. 10 ~C. 6~ D. 8$

答案:$A$

考点：程序设计基础-算法与数据结构-折半査找（二分査找）

解析：对$100$个有序元素进行折半查找，每次査找可将检索范围缩小一半。由 $2^6-1<100<2^7-1$可知，最大比较次数为$7$。

#### 6. 链表不具有的特点是（）

$A$.插入删除不需要移动元素 $B$.不必事先估计存储空间

$C$.所需空间与线性表长度成正比 $D$.可随机访问任一元素

答案：$D$ 考点：程序设计基础-算法与数据结构-链表

解析：链表是通过记录每个元素的后继位置来实现数据存储，所需空间与元素个数成正比，优点是不必事先估计存储空间、插入或删除指定位置元素的时间复杂度为$O(1)$;但缺点是由于其元素的内存地址不连续，无法进行$O(1)$的随机访问。

#### 7. 把$8$个同样的球放在$5$个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共冇多少种不同的分法？（）
提示：如果$8$个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法

$A. 22 ~ B. 24 ~ C. 18 ~ D. 20$

**答案**：$C$

考点：数学-计数问题

解析：<font color='red' size=4><b>枚举法</b></font>求解: $8$个同样的球
* 分$1$个袋子共$1$种方案
  * (8)
* 分$2$个袋子共$4$种方案
  * $(1,7)$,$(2,6)$,$(3,5)$,$(4,4)$
* 分$3$个袋子共$5$种方案
  * $(1,1,6)$,$(1,2,5)$,$(1,3,4)$,$(2,2,4)$,$(2,3,3)$
* 分$4$个袋子共$5$种方案
  * $(1,1,1,5)$,$(1,1,2,4)$,$(1,1,3,3)$,$(1,2,2,3)$,$(2,2,2,2)$
* 分$5$个袋子共$3$种方案
  * $(1,1,1,1,4)$,$(1,1,1,2,3)$,$(1,1,2,2,2)$

合计$1+4+5+5+3=18$种。

**总结：**
* 枚举法需要查找递增的序列
* 枚举法有类似于**进位**的概念，需要特别注意
* 枚举法要注意去重

<font color='red' size=4><b>枚举法计数需要重点训练！</b></font>

#### 8、一棵二叉树如右图所示，若采用顺序存储结构，即用一维数组元素存储该二叉树中的结点（根结点的下标为$1$,若某结点的下标为$i$ ,则其左孩子位于下标$2i$处、右孩子位于下标$2i + 1$处），则该数组的最大下标至少为（ ）。
<center><img src='https://pic3.zhimg.com/80/v2-765bbc58597823d9fe88adde98938b36_720w.jpg'></center>

$A. 6 ~B. 10 ~C. 15~ D. 12$

答案：$C$

**考点**：程序设计基础-算法与数据结构-树结构

解析：根据题目给定的规则可知，下标最大的结点为树中深度最大且最靠右的结点,其下标为$2^0+2^1+2^2+2^3=1+2+4+8=15$。

#### 9. $100$以内最大的素数是（ ）。

$A. 89~ B. 97~ C. 91~ D. 93$

答案：$B$

**考点**：数学-素数与合数

解析：$98 - 100$均为合数，$97$为素数。


#### 10.$319$和$377$的**最大公约数**是（ ）。

$A. 27 ~B. 33~ C. 29~ D. 31$

答案：$C$

**考点**：数学-公约数与公倍数

解析：使用辗转相除法可得 $gcd(319, 377) =gcd(319, 58) =gcd(58, 29)=29$。或将 两数分解质因数后，提取公共部分亦可求解。

#### 11. 新学期开学了，小胖想减肥，健身教练给小胖制定了两个训练方案。
方案一：每次连续跑$3$公里可以消耗$300$千卡（耗时半小时）：
方案二：每次连续跑$5$公里可以消耗$600$千卡（耗时$1$小时）。

小胖每周周一到周四能抽出半小时跑步，周五到周日能抽出一小时跑步。另外，教练建议小胖每周最多跑$21$公里，否则会损伤膝盖。请问如果小胖想严格执行教练的训练方案，并且不想损伤膝盖，每周最多通过跑步消耗多少千卡？（ ）

$A. 3000 ~B. 2500 ~C. 2400 ~D. 2520$

答案：$C$

**考点**：程序设计基础-算法与数据结构-枚举算法

解析：设方案$1$执行$x$天，方案$2$执行$y$天，则有$3x+5y<=21$ $x<=4$, $y<=3$。要求$300x+600y$的最大值，枚举可得最优方案为$x=2、y=3$,此时$300x+600y$为 $2400$。或使用线性规划亦可求解。

<font color='red' size=4><b>贪心：在$y$尽量大的情况下去尝试，应该价值最大。</b></font>

$y=3$时，$x=2$,此时$300x+600y=300*2+600*3=2400$

---


#### 12. 一副纸牌除掉大小王有$52$张牌，四种花色，每种花色$13$张。假设从这$52$张 牌中随机抽取$13$张纸牌，则至少（ ）张牌的花色一致。

$A. 4 ~B. 2 ~C. 3~ D. 5$

答案:$A$

**考点**：数学-抽屉原理

解析：最坏情况，$13$张牌对应四种花色的牌数为$3、3、3、4$。

<font color='red' size=4><b>尽量均匀分布，才能使得各个花色数量尽量一致，使最多的不太突出</b></font>

#### 13. 一些数字可以颠倒过来看，例如$0、1、8$颠倒过来还是本身，$6$颠倒过来是
$9$，$9$颠倒过来看还是$6$，其他数字颠倒过来都不构成数字。类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如$106$颠倒过来是$901$。假设某个城市的车牌只由$5$位数字组成，每一位都可以取$0$到$9$。请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？（ ）

$A. 60 ~B. 125~ C. 75 ~D. 100$

答案：$C$

**考点**：数学-乘法原理

解析：前$2$位有$0、1、8、6、9$共$5$种选择，第$3$位只能放$0、1、8$,后$2$位由前$2$位决定，因此总方案数为$5*5*3=75$。

<font color='red' size=4><b>好题！不这样训练乘法原理，就不知道这东西怎么考查！</b></font>

---
#### 14. 假设一棵二叉树的后序遍历序列为$DGJHEBIFCA$，中序遍历序列为$DBGEHJACIF$， 则其前序遍历序列为（ ）。

$A. ABCDEFGIHJ$ 
$B. ABDEGHJCFI$
$C. ABDEGJHCFI$ 
$D. ABDEGHJFIC$

**答案**:$B$

<center><img src='https://pic1.zhimg.com/80/v2-6f6b8e7e6218629deecba92227be4d84_720w.jpg'></center>

解析：后序遍历的规则是**左右根**、中序遍历的规则是**左根右**，因此可知， $A$是树根、$DBGEHJ$是$A$左子树的中序遍历（对应后续遍历$DGJHEB$）、$CIF$是$A$右子树的中序遍历（对应后续遍历$IFC$）,递归画出对应的二叉树，再根据前序遍历规则**根左右**即可求出答案。

<font color='red' size=4><b>根据后序遍历和中序遍历求前序遍历，是高频考点，需要训练：</b></font>
[练习I](https://blog.csdn.net/m0_38015368/article/details/78509776)
[练习II](https://zhidao.baidu.com/question/652199878400702525.html)
[练习III](https://blog.csdn.net/qq_44850725/article/details/106729576)
[练习IV](https://www.cnblogs.com/fzhe/archive/2013/01/07/2849040.html)
[已知前序后序为什么无法求出唯一中序](https://blog.csdn.net/suliangkuanjiayou/article/details/102960971)
#### 15. 以下哪个奖项是计算机科学领域的最高奖？（）

$A.图灵奖 B.鲁班奖 C.诺贝尔奖 D.普利策奖$

答案：$A$

**考点**：计算机基础-常识-重要人物

解析：图灵奖由美国计算机协会于$1966$年设立，其名称取自计算机科学之父图灵，专门奖励对计算机事业作出重要贡献的个人，被誉为“**计算机界的诺贝尔奖**” 。


### 二、阅读程序
<center><img src='https://pic1.zhimg.com/80/v2-392a397c8c85bb74f2054e640fc88380_720w.jpg'></center>


**考点**：程序设计基础-算法与数据结构-字符串

概述：程序用于将字符串下标(如果从$1$开始编号，但$C++$语言中实际是从$0$开始编号)是$n$约数的对应小写字母转换为大写字母。


### 判断题

#### 1) 输入的字符串只能由小写字母或大写字母组成。（ ）

答案：错

解析：输入的字符串也可以包含数字等其他字符。

#### 2） 若将第8行的`i = 1`改为`i = 0`，程序运行时会发生错误。（ ）

答案：对

解析：若$i$可以为$0$,则第$9$行的`if`语句条件`n % i == 0`将发生运行时错误`RE`。

#### 3） 若将第8行的`i <= n`改为`i * i <= n`，程序运行结果不会改变。（ ）

答案：错

解析：当第$8$行的循环条件为`i<=n`时，字符串的末尾字符会被程序加工，但若改为`i*i<=n`，字符串的末尾字符将不会被程序加工（除非字符串长度为`1`）。　注意是开根号，这不对，比如`14`位，质因子分解为$2 \times 7$,$7$这个质因子就是大于$\sqrt{14}$,如果只枚举到$\sqrt{14}$,就会有一个大因子没有遍历到。

#### 4） 若输入的字符串全部由大写字母组成，那么输出的字符串就跟输入的字符串一样。（ ）

答案：对

解析：大写字母的$ASCII$编码值小于小写字母的。若输入的字符串全部由大写字母组成，则程序不会对其进行加工。


•选择题

#### 5） 若输入的字符串长度为$18$，那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有（ ）个字符不同。

$A. 18 ~ B. 6 ~ C. 10 ~ D. 1$

答案：$B$

解析：$18$的正约数共有$6$个，因此程序至多修改输入字符串中的$6$个字符，即输出字符串与输入字符串至多有$6$个字符不同。

#### 6） 若输入的字符串长度为（ ），那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有$36$个字符不同。

$A. 36 ~ B. 100000~ C. 1~ D. 128$

答案:$B$

解析：根据程序的作用可知，要使输出字符串和输入字符串之间至多有$36$个字符不同，$36$应当是字符串长度$n$的**约数个数**。本题选项中，仅有$100000$满足要求，将其分解质因数得$100000=2^5*5^5$,根据约数个数定理，得其的正约数共有$（5+1）*（5+1）=36$个。

### 程序二
<center><img src='https://pic4.zhimg.com/80/v2-c8b93aae4cdd05dc29e55c861070010f_720w.jpg'></center>

假设输入的$n$和$m$都是正整数，$x$和$y$都是在$[1, n]$的范围内的整数，完成下面的判断题和单选题：

#### 写在前面,方法总结
* 由于没有专门训练过阅读程序这样逆向思维的试题，导致阅读起来理解有困难，需要总结技巧。
* 不要上来就试图读懂整个代码的逻辑流程，应该从边界入手，从实例入手，从分支入手，去验证问题，不一定非得完整的把代码搞清楚它的原本含义。一般常见的例子举$3$行，比如：
```c++
1 2
2 3
3 4
```
* 数字一般从$1$开始，能简单就尽量简单。
* 不要指望一组模拟数据就能过掉所有问题，可能需要两组或以上

**考点**：程序设计基础-算法与数据结构-模拟算法
此题见17.xls的表格模拟测试数据解法。


#### 程序三
<center><img src='https://pic1.zhimg.com/80/v2-08ecdcddfaf65b6347187158123d7580_720w.webp'></center>

[满二叉树和完全二叉树](https://blog.csdn.net/qq_40274514/article/details/118676571)

[退化成链的二叉树](https://img2018.cnblogs.com/blog/1071918/201906/1071918-20190613101650630-781753659.png)

**考点**：程序设计基础-算法与数据结构-树结构

概述：程序可以视作根据二叉树的**中序遍历**(根左右)，构造一棵满足要求的树，并输出各结点深度与$b$值的加权和——要求二叉树的根结点 **最小**($min$)，并递归要求左右子树的根结点最小(除非相应子树为空)。

**判断题**

1）如果$a$数组有重复的数字，则程序运行时会发生错误。（ ）

答案：错

解析:若$a$数组有重复数字，则程序在根据$a$数组递归构造符合要求的二叉树时，对于相同结点值，**会优先考虑位于左侧**的。

2）如果$b$数组全为$0$,则输出为$0$。（ ）

答案：对

解析：程序最终输出的是各结点深度与$b$值的 **加权和**，因此若$b$数组全为$0$,则加权和显然为$0$。

**选择题**

3） 当$n=100$时，**最坏情况下**，与第$12$行的比较运算执行的次数最接近的是（ ）。

$A. 5000$ $B. 600$ $C. 6$ $D. 100$

答案:$A$

解析：最坏情况下，程序所构造的二叉树的每个结点至多仅有一个子结点，此时, 程序将递归$100$层，其中第$i$层进行$100-i+1$次第$12$行的比较运算，总执行次数为 $100+99+98+…+ 1≈5000$。

4） 当$n=100$时，最好情况下，与第$12$行的比较运算执行的次数最接近的是（ ）。

$A. 100$ $B. 6$ $C. 5000$ $D. 600$

答案：$D$

解析：最佳情况下，程序构造二叉树时，对于每个结点会尽可能均分其左右子树。 定义根结点深度为$1$，则含$n=100$个结点的树的深度最小为$logn≈7$,此时每选定一层结点，程序都需要执行约$n$次的第$12$行的比较运算，因此总执行次数约为 $nlogn≈600$。

5） 当$n=10$时,若$b$数组满足，对任意$0 ≤ i < n$。都有$b[i] = i + 1$，那么输出最大为（ ）。

$A. 386$ $B. 383$ $C. 384$ $D. 385$

答案：$D$

解析；
构造数据$[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$

会发现，这是一棵从左上到右下的链，深度为$10$

此时，要使输出的$ans$值尽可能大，程序所构造的二叉树的深度应尽可能的大。定义根结点深度为$1$，则含$10$个结点的二叉树的最大深度为$10$，因此$ans$ 的最大值为 $1*1+2*2+3*3+…+10*10=385$。

6） （$4$分）当$n=100$时，若$b$数组满足，对任意$0 ≤ i < n$，都有$b[i]=1$,那么输出最小为（ ）。

$A. 582$ $B. 580$ $C. 579$ $D. 581$

答案：$B$

解析：此时，要使输出的$ans$值尽可能小，程序应参照完全二叉树构造此树，其中深度为$1$的结点共$1$个，深度为$2$的结点共$2$个，深度为$3$的结点共$4$个…… 深度为$6$的结点共$32$个，剩余$37$个结点的深度为$7$，因此$ans$的最小值为$（1*1+2*2+3*4+…+6*32）+7*37=580$。

#### 三、完善程序（单选题，每题3分，共计30分）
[视频讲解](https://www.bilibili.com/video/BV1e54y1R7Cc/)

**程序一**
<center><img src='https://pic2.zhimg.com/80/v2-3c2c43c0d8d7f06d46516b2385ada365_720w.webp'></center>

<center><img src='https://pic4.zhimg.com/80/v2-861ce6394b7641d1769cf8d69e8d146b_720w.webp'></center>

**考点**：程序设计基础-算法与数据结构-分治算法

概述：程序釆用分治算法，递归模拟矩阵的变换过程。递归函数`recursive(x, y, n, t)`表示计算左上角$(x, y)$,大小$2^n*2^n$由单个数字$t$变幻而来的矩阵。

1) ①处应填（ ）

$A. n \% 2$ $B. 0$ $C. t$ $D. 1$

答案:$C$

解析：此处为递归边界，当需要计算的是单位矩阵时，相应元素应赋值为$t$,即无需再经任何变换。

2）②处应填（ ）

`A. x – step , y – step` `B. x，y - step`
`C. x – step , y` `D. x, y`

答案：$D$

解析：左上角$（x,y）$,且大小$2^n*2^n$的矩阵，可以分成$4$个$2^n-1*2^n-1$的矩阵分别计算。此处需要计算的是$4$个矩阵中位于左上方的矩阵，该矩阵的左上角坐标为$(x, y)$。

3）③处应填（ ）

`A. x - step, y - step` `B. x + step, y + step`
`C. x - step, y` `D. x, y – step`

答案：$B$

解析：左上角$（x,y）$,且大小$2^n*2^n$的矩阵，可以分成$4$个$2^n-1*2^n-1$的矩阵分别计算。此处需要计算的是$4$个矩阵中位于右下方的矩阵，该矩阵的左上角坐标为 $（x+2^n-1, y+2^n-1）$。

4） ④处应填（）

`A. n - 1, n % 2` `B. n, 0`

`C. n, n % 2` `D. n - 1, 0`

答案：$B$

解析：此处是递归计算的入口，即题目最终所求的是大小$2^n*2^n$,由单个数字$0$变幻而来的矩阵，因此递归函数的后两个参数应设为$n$和$0$。

5）⑤处应填（）

`A. 1 << (n + 1)` `B. 1 << n`
`C. n + 1` `D. 1 << （n - 1）`

答案：$B$

解析：此处是计算最终所求的矩阵大小，即边长$size$为$2^n$,位运算写做 $1<<n$

### 程序二
<center><img src='https://pic1.zhimg.com/80/v2-a0934b2f314126c103cf6f08782e9428_720w.webp'></center>
<center><img src='https://pic3.zhimg.com/80/v2-39331971bdaf48b39295a92edb81dc7e_720w.webp'></center>

<center><img src='https://img2022.cnblogs.com/blog/404484/202206/404484-20220625162922074-1629596542.png'></center>

**考点**：程序设计基础-算法与数据结构-排序算法

解析：基于计数排序，程序实际实现了近似于基数排序的算法——依次以低位到高位的每一位数为关键词，进行计数排序，前一次的排序结果是下一次的初始序列——本题对应着先根据第二关键词$b$进行计数排序，再根据第一关键词$a$进行计数排序。

1) ①处应填()

`A. ++cnt[i]`
`B. ++cnt[b[i]]`
`C. ++cnt[a[i] * maxs + b[i]]`
`D. ++cnt[a[i]]`

答案：$B$

解析：此处是根据第二关键词$b$进行计数排序，并做各关键词的数量统计工作， 因此将$b[i]$对应的元素数量自增$1$。

2） ②处应填（）

`A. ord[--cnt[a[i]]] = i`
`B. ord[--cnt[b[i]]] = a[i]`
`C. ord[--cnt[a[i]]] = b[i]`
`D. ord[--cnt[b[i]]] = i`

答案：$D$

解析:此处是根据第二关键词$b$进行计数排序，并记录排序结果。此时的$ent[key]$ 用于表示关键词为$key$的元素在结果数组中的位置，因此这里的程序应将关键词为$b[i]$的元素$i$放在$ord$数组里。

3） ③处应填（）

`A. ++cnt[b[i]]`
`B. ++cnt[a[i] * maxs + b[i]]`
`C. ++cnt[a[i]]`
`D. ++cnt [i]`

答案:$C$

解析：此处是根据第一关键词$a$进行计数排序，并做各关键词的数量统计工作， 因此将$a[i]$对应的元素数量自增$1$。

4） ④处应填（）

`A. res[--cnt[a[ord[i]]]] = ord[i]`
`B. res[--cnt[b[ord[i]]]] = ord[i]`
`C. res[--cnt[b[i]]] = ord[i]`
`D. res[--cnt[a[i]]] = ord[i]`

答案：$A$

解析：此处是根据第一关键词$a$进行计数排序，并记录排序结果。由于此前已经根据第二关键词$b$进行计数排序，此时第$i$个元素的原始下标实际为$ord[i]$, 因此这里的程序应将关键词为$a[ord[i]]$的元素$ord[i]$放在$res$数组里。

5） ⑤处应填（）

`A. a[i], b[i]`
`B. a[res[i]], b[res[i]]`
`C. a[ord[res[i]]] , b[ord[res[i]]]`
`D. a[res[ord[i]]] , b[res[ord[i]]]`

答案：$B$

解析：此处是按顺序输出排序结果。由于此前已经按照第二关键词、第一关键词完成了计数排序，此时第$i$个元素的原始下标实际为$res[i]$。


[C++实现排序算法之基数排序](https://blog.csdn.net/qq_38307826/article/details/107515611)