## [$AcWing$ $435$. 传球游戏](https://www.acwing.com/problem/content/437/)

### 一、题目描述
上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。

这次，老师带着同学们一起做传球游戏。

游戏规则是这样的：$n$ 个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。

聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了 $m$ 次以后，又回到小蛮手里。

两种传球的方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。

比如有 $3$ 个同学 $1$ 号、$2$ 号、$3$ 号，并假设小蛮为 $1$ 号，球传了 $3$ 次回到小蛮手里的方式有 $1→2→3→1$ 和 $1→3→2→1$，共 $2$ 种。

**输入格式**
输入文件共一行，有两个用空格隔开的整数 $n，m$。

**输出格式**
输出文件共一行，有一个整数，表示符合题意的方法数。

**数据范围**
$3≤n≤30,1≤m≤30$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
3 3
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
2
```

### 二、解题思路
**($DP$,环形$DP$) $O(NM)$**

不妨设小蛮在$0$号，所有人的编号是 $0 \sim n−1$。

#### 状态表示 $f[i, j]$：

- **集合**：所有已经传了$i$次球，且最后球在编号是$j$的小朋友手上的方案
- **属性**：集合中元素的数量；

#### 状态计算：
我们可以发现，任何一个位置都只能从左边和右边传过来，这样我们就可以列出我们的方程： 

① $\large f[i][j] = f[i-1][2] + f[i-1][n] \ \ \ \ \ \ (j=1)$ 
② $\large f[i][j] = f[i-1][1] + f[i-1][n-1] (j=n)$
③ $\large f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j+1] (j \neq 1,j \neq n) $

边界：
$\large f[0][1] = 1$

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;

int n, m;
int f[N][N];
int main() {
    cin >> n >> m;
    // 边界：第0次传球，第1个人获得球的机会数
    f[0][1] = 1;
    
    // 传m次球
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (j == 1)
                f[i][j] = f[i - 1][j + 1] + f[i - 1][n];
            else if (j == n)
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][1];
            else
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j + 1];
        }
    }
    // 经过m次传球，球回到第1个人手中的机会数
    cout << f[m][1] << endl;
    return 0;
}
```