### [$AcWing$ $451$. 摆花](https://www.acwing.com/problem/content/453/)

### 一、题目描述
小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共 $m$ 盆。

通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的 $n$ 种花，从 $1$ 到 $n$ 标号。

为了在门口展出更多种花，规定第 $i$ 种花不能超过 $a_i$ 盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。

试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

**输入格式**
第一行包含两个正整数 $n$ 和 $m$，中间用一个空格隔开。 

第二行有 $n$ 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 $a_1,a_2,…,a_n$。

**输出格式**
输出只有一行，一个整数，表示有多少种方案。

注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对 $1000007$ 取模的结果。

**数据范围**
$0<n,m≤100,0≤a_i≤100$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
2 4
3 2
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
2
```

### 二、题目解析
($DP$,多重背包问题,背包问题求方案数) $O(n^2a)$

问题转化：

- 将花盆数量看作背包容量；
- 将花看作物品，体积是$1$，第 $i$ 种物品最多选 $a_i$ 个；

- 问题：将背包装满的方案数是多少？

这是典型的多重背包求方案数问题：

状态表示：$f[i, j]$ 表示前$i$个物品，总体积是$j$的方案数；

状态计算：$$f[i, j] = f[i - 1, j] + f[i - 1, j - 1] + ... + f[i - 1, j - a[i]]$$。

### 三、二维数组解决
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110, mod = 1000007;

int n, m;
int f[N][N]; // f[i, j] 表示前i个物品，总体积是j的方案数

int main() {
    cin >> n >> m;

    f[0][0] = 1; // 求方案数的base case

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a;
        cin >> a; // 最多允许选a个
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            for (int k = 0; k <= min(a, j); k++)
                f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - k]) % mod;
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

```

### 四、一维数组解决
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110, mod = 1000007;

int n, m;
int f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;

    f[0] = 1; // 求方案数的base case

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a;
        cin >> a; // 最多允许选a个
        for (int j = m; j >= 0; j--)
            for (int k = 1; k <= min(a, j); k++)
                f[j] = (f[j] + f[j - k]) % mod;
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

```

### 五、为什么一维与二维的$k$一个是从$1$，另一个是从$0$开始呢?

根据
$$f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j - 2] + ... + f[i - 1][j - a[i]]$$

可以得知只用上一状态的值 毋须额外储存每一种$i$的状态 所以可以直接优化掉$i$维

但是去掉后会发现
$$f[j] = f[j] + f[j - 1] + f[j - 2] + ... + f[j - a[i]]$$

$f[j]$已经有上一次状态得到的值了 不能再加一次 所以
$$f[j] = f[j - 1] + f[j - 2] + ... + f[j - a[i]]$$
因此$k$是从$1$到$a[i]$而不是从$0$到$a[i]$

当然了，思考一下$01$背包降维的套路，我们知道这个东西要从后向前枚举才不会依赖错误值。