## [$AcWing$ $432$. $Hanoi$双塔问题](https://www.acwing.com/problem/content/434/)
### 一.汉若单塔（也称经典汉若塔问题）
首先，我们先画个 $n=3$ 图：
要把 $A$ 柱上的 **圆盘** 移到 $C$ 柱上，要求无论在哪个柱子上的圆盘都是大的在下面，小的在上面。求从 $A$ 柱上的圆盘移到 $C$ 柱上要多少步？
#### 1. 实践
遇到这种问题，首先想到的是先模拟一次，如下图：
怎么样？看完过程，是不是清晰了许多？全过程是这样的：
| 步数 |
操作 |
| 1 |
① A to C |
| 2 |
② A to B |
| 3 |
① C to B |
| 4 |
③ A to C |
| 5 |
① B to A |
| 6 |
② B to C |
| 7 |
① A to C |
#### 2. 探索
>**解释**
① ：最上面的第$1$个圆饼
② ：中间的第$2$个圆饼
③ ：最下面的第$3$个圆饼
总共$7$步。仔细观察我们可以发现，移动的盘子是对称的，如上表：$①②①③①②①$。
以$③$为点 ，左右对称。再看看右边$①②①$，也是对称的，这是 $n=2$ 时移动的步数。我们是不是可以推测出如果 $n=4$ 时，$①②①③①②①④①②①③①②①$是移动顺序呢？事实证明的确如此。移动顺序总是上一个序列加上新的盘子再加上一个序列。
> **注**
> 我终于懂了汉诺塔，真是太$TM$简单了~
由此可得递推公式：
$$\large f[i] =f[i−1] ∗2+1$$
[刘老师视频讲座](https://www.bilibili.com/video/BV1Rq4y1v7sC)
#### 3. 运用
如何运用到$c++$里面呢？
```cpp {.line-numbers}
int f[10010];
int n;
scanf ("%d", &n);
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
f[i] = f[i-1] * 2 + 1;
printf ("%d\n", f[n]);
```
这就是主程序。
#### 4. 思考
如何输出中间的步骤？可在评论区回答 `or` 讨论！
### 二.汉若双塔
#### 1. 认识
我们来看看汗若双塔长什么样子吧：
他就是每种型号多了$1$个盘子。移动起来的步骤也就乘$2$了。
#### 2. 实现
```cpp {.line-numbers}
int f[10010];
int n;
scanf ("%d", &n);
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
f[i] = f[i-1] * 2 + 1;
printf ("%d\n", f[n] * 2);
```
### 三.加强
当数据 $n<=200$ 时，我们应该怎么做？ $answer$ ：当然是 **无符号** $long$ $long$ 啦。
$NO！NO！NO！$ 我们应该开高精度，这才是正解！！！
康康 $code$ ：
```cpp {.line-numbers}
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
// 加法高精度
int a[N], b[N];
int al, bl;
void add(int a[], int &al, int b[], int &bl) {
int t = 0;
al = max(al, bl);
for (int i = 1; i <= al; i++) {
t += a[i] + b[i];
a[i] = t % 10;
t /= 10;
}
if (t) a[++al] = 1;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
b[++bl] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
add(a, al, a, al);
add(a, al, b, bl);
}
// 最后再乘以2
add(a, al, a, al);
for (int i = al; i; i--) cout << a[i];
return 0;
}
```