## [$AcWing$ $126$. 最大的和](https://www.acwing.com/problem/content/description/128/)

#### 关键字

**最大子段和**，有一维和二维两种情况
一维：$O(N)$
二维：$O(n^3)$

### 一、题目描述

给定一个包含整数的二维矩阵，子矩形是位于整个阵列内的任何大小为 $1×1$ 或更大的连续子阵列。

矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

在这个问题中，具有最大和的子矩形被称为最大子矩形。

例如，下列数组：
```cpp {.line-numbers}
0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 
```
其最大子矩形为：
```cpp {.line-numbers}
9 2 
-4 1 
-1 8 
```
它拥有最大和 $15$。

**输入格式**
输入中将包含一个 $N×N$ 的整数数组。

第一行只输入一个整数 $N$，表示方形二维数组的大小。

从第二行开始，输入由空格和换行符隔开的 $N^2$ 个整数，它们即为二维数组中的 $N^2$ 个元素，输入顺序从二维数组的第一行开始向下逐行输入，同一行数据从左向右逐个输入。

数组中的数字会保持在 $[−127,127]$ 的范围内。

**输出格式**
输出一个整数，代表最大子矩形的总和。

**数据范围**
$1≤N≤100$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
4
0 -2 -7 0 
9  2 -6 2
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2
```
**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
15
```
### 二、一维情况
![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/10/ff42ec7098d1ef99fe4407b09763fe43.png)

**测试用例**
```cpp {.line-numbers}
7
5 -2 -4 8 -1 5 4
```
**输出**
```cpp {.line-numbers}
16
```

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 110;
int a[N], s[N];
int f[N];
/*
7
5 -2 -4 8 -1 5 4

输出：
16
*/
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 累加出前缀和
    }

    int res = -INF;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i] = max(f[i - 1], 0) + a[i];
        res = max(res, f[i]);
    }
    cout << res << endl;

    return 0;
}

```


### 三、二维情况
左上角和右下角两个点可以确定一个矩形。枚举这两个点要用$4$个$for$循环 如果 **用二维前缀和优化**，那么这个做法的复杂度的就是$O(n^4)$。

其实这个方案可以优化，那就是 **不枚举点**。

![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/10/334b9e697d04e95b19930aaf81bf678b.png)



所以我们可以 **利用前缀和数组表示出每个色块表示的值**，然后做类似找一维数组最大连续和的操作。这样来 **枚举出最优矩形**。

枚举边界要用$3$个$for$，复杂度为 $O(n^3)$

#### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 110;
int g[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> g[i][j];
            // 累加出并记录同一列的前缀和
            g[i][j] += g[i - 1][j];
        }

    int res = -INF;

    // 枚举边界1，2
    for (int i = 1; i <= n; i++)       // 起始行
        for (int j = i; j <= n; j++) { // 终止行
            // 枚举边界p
            int last = 0;
            for (int k = 1; k <= n; k++) {
                last = max(last, 0) + g[j][k] - g[i - 1][k];
                res = max(res, last);
            }
        }

    cout << res << endl;
    return 0;
}
```