## [$AcWing$ $464$. 推销员](https://www.acwing.com/problem/content/description/466/)

### 一、理解测试用例
```cpp {.line-numbers}
s[i]: 1 2 3 4 5
a[i]: 1 2 3 4 5
```
① 取$1$个：$5*2+5=15$
② 取$2$个：$(5+4)+2*5=19$
③ 取$3$个：$(5+4+5)+2*5=22$
④ 取$4$个：$(2+3+4+5)+2*5=24$
⑤ 取$5$个：$(1+2+3+4+5)+2*5=25$

### 二、解题思路

距离是真的烦人，那就先不管它吧。因为想要疲劳值最大，那么先 **按照疲劳值从大到小排序** 一遍。

此时，可以判断出，最大值 **可能** 为：对于每个$X$，只要加上前$X$大的疲劳值，再加上 **这些数中距离最远** 的并 **乘以$2$**，也就是：$$\sum_{i=1}^{X}(a[i])+s[j]∗2$$

其中，$s[j]$表示前 $X$ 个距离最远的。

但是，推销员可以通过 **走远一点**，虽然疲劳值比前面小，但是有可能把路程一算，反而更大。

因此，可以把$a[]$，即疲劳值中，**前$X$大中的最小值，即第$X$大的那一家舍去**，看看能不能通过走更远来换取更大的疲劳值总和。


而从后面看，**一定也会存在一个最大值**，把这个最大值和前面$X−1$个疲劳值总和加起来，看看会不会比前面第一种的情况大。

#### 证明：只需舍去最小值来走更远，无需舍去更多数来走更远。

其实这也不是一个证明..

因为已经从大到小排序了，所以，如果舍去$2$个疲劳值，那么后面只会在加上两个更小的疲劳值，以及两个之间最大的距离并乘$2$，那么这样还不如只舍去一个。

$2$个不行，那么$2$个以上更是不行了。

#### **举栗子**
硬讲太累了，还是用一个例子吧。

```cpp {.line-numbers}
s[i]:1,3,4,5,11
a[i]:5,4,2,1,1
```

- 若$X==1$:
  - 直接取，值为:$1×2+5=7$
  - 如果舍去当前(**最小**)的往后跑，值为:$11×2+1=23$

所以，最大值就为$max(7,23)=23$。



- 若$X==2$:
  - 直接取，值为:$3×2+5+4=15$
  - 把其中 **最小** 值舍去，也就是$4$去掉，往后跑值为:$11×2+1+5=28$，那么最大值为$max(15,28)=28$。

  - 若把次小疲劳值，即$5$,也往后跑，那么值为$11×2+1=23$，可以发现，距离并未因此改变，仍为$11$，而位置移后，疲劳值只会减少，故只能移动最小疲劳值。


那么，最后一个问题，酱紫复杂度是会炸掉的，原因分析：
我们需要哪些信息呢？
 <font color='red' size=4><b>
 ① $sum[i]:a[i]$数组前$i$位的前缀和，比如上面的$5+4$
 
 ② 除了计算疲劳值的前缀和，还需要一个前$i$个住房中，找到最大的距离值，这是题目中要求的数据，它能不能预处理出来呢？答案是可以的：从$i \sim n$一路$max$ $pk$不就记录下来了吗~
 我们用$g[i]$来记录这个信息。

 ③ 把前$i$位中第$i$位去掉，保留前$i-1$位，那么，需要知道后面这一堆住房中距离的最大值。
 很明显，这里在倒序由后向前进行$PK$记录即可。这里有一个坑点，就是如果你决策了选择某个住房，那么这个距离的最大值你肯定是妥妥的享用了，但不要忘记还要加这住房的疲劳值$a[i].b$
</b></font>


这样子预处理，就可以实现$O(nlogn)$啦 $qaq$！

**最终二选一就可以了~**

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;                  // n个客户
int sum[N], g[N], h[N]; // 疲劳值前缀和 前i个最大值 后i个最大值
struct Node {
    int s; // 距离
    int b; // 疲劳
    const bool operator<(const Node &W) {
        return b > W.b;
    }
} a[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].s; // 住户i到入口的距离
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i].b; // 向i住户推销产品会积累的疲劳值

    sort(a + 1, a + 1 + n); // 按疲劳由大到小排序

    for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i].b;              // 预算出疲劳值的前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++) g[i] = max(g[i - 1], 2 * a[i].s);          // 前i个距离最大值
    for (int i = n; i >= 1; i--) h[i] = max(h[i + 1], 2 * a[i].s + a[i].b); // 后i个距离最大值
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", max(sum[i] + g[i], sum[i - 1] + h[i]));
    return 0;
}
```