## [$AcWing$ $1135$. 新年好](https://www.acwing.com/problem/content/1137/)

### 一、题目描述
重庆城里有 $n$ 个车站，$m$ 条 **双向** 公路连接其中的某些车站。

每两个车站 **最多** 用一条公路连接，从任何一个车站出发都可以经过一条或者多条公路到达其他车站，但不同的路径需要花费的时间可能不同。

在一条路径上花费的时间等于路径上所有公路需要的时间之和。

佳佳的家在车站 $1$，他有五个亲戚，分别住在车站 $a,b,c,d,e$。

过年了，他需要从自己的家出发，拜访每个亲戚（顺序任意），给他们送去节日的祝福。

怎样走，**才需要最少的时间**？

**输入格式**
第一行：包含两个整数 $n,m$，分别表示车站数目和公路数目。

第二行：包含五个整数 $a,b,c,d,e$，分别表示五个亲戚所在车站编号。

以下 $m$ 行，每行三个整数 $x,y,t$，表示公路连接的两个车站编号和时间。

**输出格式**
输出仅一行，包含一个整数 T，表示最少的总时间。

**数据范围**
$1≤n≤50000,1≤m≤10^5,1<a,b,c,d,e≤n,1≤x,y≤n,1≤t≤100$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
6 6
2 3 4 5 6
1 2 8
2 3 3
3 4 4
4 5 5
5 6 2
1 6 7
```

输出样例：
```cpp {.line-numbers}
21
```

### 二、解题思路

#### 1. 梳理概念
**车站**: $1,2,3,4,5,6,7,...,50000$，最多可能$50000$个 
<font color='red' size=4><b>这个数量挺大</b></font>

**亲戚个数**：$5$个，分别住 $a,b,c,d,e$号车站 
<font color='red' size=4><b>这个数量挺小，看来可以利用一下</b></font>

**亲戚家与车站关联关系**
$id[1]=8$ 表示第$1$个亲戚家住在$8$号车站附近,记录每个亲戚与车站的关系


#### 2、思考过程
① 必须由佳佳的家出发，也就是出发点肯定是$1$号车站
② 现在想求佳佳去$5$个亲戚家,每一家都需要走到，不能漏掉任何一家，但顺序可以任意。这里要用一个关系数组$id[]$来把亲戚家的编号与车站号挂接一下。
③ 看到是最短路径问题，而且权值是正整数，考虑$Dijkstra$。
④ 但$Dijkstra$只能是单源最短路径求解，比如佳佳去二姨家，最短路径是多少。佳佳去三舅家，最短路径是多少。本题不是问某一家，问的是佳佳全去到，总的路径和最短是多少，这样的话，直接使用$Dijkstra$就无效了。
⑤ 继续思考:因为亲戚家只有$5$个,可以从这里下手，通过全排列的办法，枚举出所有的可能顺序，此时，计算次数=$5*4*3*2*1=120$次。
⑥ 跑多次$Dijkstra$是在干什么呢？就是在分别以二姨，三舅，四大爷家为出发点，分别计算出到其它亲戚家的最短距离，如果我们把顺序分别枚举出来，每次查一下已经预处理出来的两个亲戚家的最短距离，再加在一起，不就是可以进行$PK$最小值了吗？

至此，整体思路完成。

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312281603744.png)

#### 3.编码步骤

* **$6$次最短路**
  分别以佳佳家、五个亲戚家为出发点($id[i]~ i\in[0,5]$)，求$6$次最短路，相当于打表，一会要查

* **求全排列**
  因为佳佳所有的亲戚都要拜访到，现在不知道的是什么样顺序拜访才是时间最少的。 把所有可能顺序都 **枚举** 出来，通过查表，找出两个亲戚家之间的最小时间，累加结果的和，再$PK$最小就是答案

#### 4.实现细节
通过前面的$6$次打表预处理，可以求出$6$个$dist$数组，当我们需要查找 $1->5$的最短路径时，直接查$dist[1][5]$

$dist[i][j]$:从$i$号亲戚家(不是$i$号车站)出发，到达每个车站站点的 **最短距离**

<font color='red' size=4><b>注意:</b></font>
这两个维度在概念上这所以存在差异，本质上是为了防止$MLE$:
如果第一维也是车站站点的话，就是$50000*50000$的二维矩阵，$≈2.5e9$,大的吓人。因为我们只关心从这$6$个位置出发的所有最短距离，所以第一维开成$0$~$5$。现在的空间占用是 $50000*6=300000$,也就是$3e5$

$\large Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 50010;       // 车站数目
const int M = N << 1 << 1; // 公路数目，一般来说，N个节点，通常是2*N条边，如果是无向图，再乘2
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m; // 车站数目,公路数目

// 存图
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dis[6][N];
int id[6]; // 0号索引：佳佳的家,其它5个亲戚，分别下标为1~5，值为所在的车站编号

/*
1、用在Dijkstra中判断量不是出过队列，多次调用Dijkstra需要在函数体内进行状态重置　
2、在dfs求全排列时，需要清空后记录在此路线上此　亲戚号　是不是走过了
*/
bool st[N];

/*
 S:出发车站编号
 dis[]:是全局变量dis[6][N]的某一个二维，其实是一个一维数组
 C++的特点：如果数组做参数传递的话,将直接修改原地址的数据
 此数组传值方式可以让我们深入理解C++的二维数组本质：就是多个一维数组，给数组头就可以顺序找到其它相关数据
 计算的结果：获取到S出发到其它各个站点的最短距离，记录到dis[S][站点号]中
*/
void dijkstra(int S, int dis[]) {
    dis[S] = 0;
    memset(st, false, sizeof st);
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    q.push({0, S});

    while (q.size()) {
        auto t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            if (dis[v] > dis[u] + w[i]) {
                dis[v] = dis[u] + w[i];
                q.push({dis[v], v});
            }
        }
    }
}

int ans = INF; // 预求最小先设最大

// u:第几个亲戚
// pre:前序站点
// sum:按此路径走的总距离和
void dfs(int u, int pre, int sum) {
    if (u == 6) { // 如果安排完所有亲戚的拜访顺序，就是得到了一组解，尝试更新最小值
        ans = min(ans, sum);
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= 5; i++) // 在当前位置上，枚举每个可能出现在亲戚站点
        if (!st[i]) {            // 如果这个亲戚没走过
            st[i] = true;        // 走它
            // 本位置填充完，下一个位置，需要传递前序是i,走过的路径和是sum+dis[pre][id[i]].因为提前打好表了，所以肯定是最小值，直接用就行了　
            // 需要注意的是一维是　6的上限，也就是　佳佳家+五个亲戚　，而不是 车站号(佳佳家+五个亲戚) !因为这样的话，数据就很大，数组开起来麻烦，可能会MLE
            // 要注意学习使用小的数据标号进行事情描述的思想
            dfs(u + 1, i, sum + dis[pre][id[i]]);
            st[i] = false; // 回溯
        }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m); // 车站数目和公路数目

    id[0] = 1;                                        // 佳佳是0，id[0]=1,表示佳佳家在1号车站
    for (int i = 1; i <= 5; i++) scanf("%d", &id[i]); // 五个亲戚所在车站编号,比如id[1]=2,描述1号亲戚在2号车站

    // 建图完成后，图中的节点其实是　车站的站点编号，而不是亲戚编号
    memset(h, -1, sizeof h); // 为了存图，需要初始化邻接表

    while (m--) { // 建图
        int a, b, c;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); // a号车站到b号车站，需要走的时间是c
        add(a, b, c), add(b, a, c);    // 无向图，双向建边
    }

    // 计算从某个亲戚所在的车站出发，到达其它几个点的最短路径
    // 因为这样会产生多组最短距离，需要一个二维的数组进行存储
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    for (int i = 0; i < 6; i++) dijkstra(id[i], dis[i]);
    // 枚举每个亲戚所在的车站站点，多次Dijkstra,分别计算出以id[i]这个车站出发，到达其它点的最短距离，相当于打表
    // 将结果距离保存到给定的二维数组dis的第二维中去，第一维是指从哪个车站点出发的意思

    // dfs还要用这个st数组做其它用途，所以，需要再次的清空
    memset(st, 0, sizeof st);

    // 1：准备走第一家亲戚(具体是a,b,c,d,e哪一家随意都可以)
    // 0：前序是佳佳自己家,他自己家的序号是0号
    // 0：已经走过的最短距离和是0
    dfs(1, 0, 0);

    // 　输出结果
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}
```