## [$AcWing$ $1134$. 最短路计数](https://www.acwing.com/problem/content/1136/)

### 一、题目描述
给出一个 $N$ 个顶点 $M$ 条边的 **无向无权图**，顶点编号为 $1$ 到 $N$。

问从顶点 $1$ 开始，到其他每个点的 **最短路有几条**。

**输入格式**
第一行包含 $2$ 个正整数 $N,M$，为图的顶点数与边数。

接下来 $M$ 行，每行两个正整数 $x,y$，表示有一条顶点 $x$ 连向顶点 $y$ 的边，**请注意可能有自环与重边**。

**输出格式**
输出 $N$ 行，每行一个非负整数，第 $i$ 行输出从顶点 $1$ 到顶点 $i$ 有多少条不同的最短路，由于答案有可能会很大，你只需要输出对 $100003$ 取模后的结果即可。

如果无法到达顶点 $i$ 则输出 $0$。

**数据范围**
$1≤N≤105,1≤M≤2×10^5$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
5 7
1 2
1 3
2 4
3 4
2 3
4 5
4 5
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
1
1
1
2
4
```

### 二、解题思路

> 要求 **最短路计数** 要满足: **不能存在路径和为$0$的环**，因为存在的话某个环中不断的转圈不出来，而路径长度不变,那么被更新的点的条数就为$INF$了

#### 1. 更新记录最短路的数量

![](https://img2022.cnblogs.com/blog/8562/202203/8562-20220318155736995-335503946.png)


#### 2. 求最短路的算法
* $bfs$
  只入队一次，出队一次, **可以抽象成拓扑图**， 因为它可以保证被更新的点的父节点一定已经是最短距离了，并且这个点的条数已经被完全更新过了。

* $dijkstra$
 每个点只出队一次, **可以抽象成拓扑图**， 同理由于每一个出队的点 **一定** 已经是 **最短距离**，并且它出队的时候是队列中距离最小的点，这就代表他的最短距离条数已经被完全更新了，所以构成拓扑性质。


<!-- 让表格居中显示的风格 -->
<style>
.center 
{
  width: auto;
  display: table;
  margin-left: auto;
  margin-right: auto;
}
</style>
<div class="center">

| 题型                                | 方法                             | 可行性 | 备注                                          |
| ----------------------------------- | -------------------------------- | ------ | --------------------------------------------- |
| 最短路+最短路数量                   | $Dijkstra+Heap+DP$               | $√$    | <font color='red' size='4'><b>推荐</b></font> |
|                                     | $bfs+DP$                         | $√$    | 了解                                          |
|                                     | $spfa+DP$                        | $√$    | 了解                                          |
|                                     | 求最短路+建拓扑图+遍历拓扑图$DP$ | $√$    | <font color='blue' size=4><b> 学习</b></font> |
| 最短路+最短中数量+次短路+次短路数量 | $Dijkstra$堆优化+$DP$+拆点       | $√$    | <font color='red' size=4><b>推荐</b></font>   |
|                                     | $bfs+DP$                         | $×$    |                                               |
|                                     | $spfa+DP$                        | $×$    |                                               |
|                                     | 求最短路+建拓扑图+遍历拓扑图$DP$ | $√$    | <font color='blue' size=4><b>学习</b></font>  |
</div>



#### $bfs$解法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 4e5 + 10;
const int MOD = 100003;
int h[N], ne[N], e[N], idx;
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int cnt[N]; // 从顶点1开始，到其他每个点的最短路有几条
int dis[N]; // 最短距离
int n, m;
void bfs() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    queue<int> q;
    q.push(1);
    cnt[1] = 1; // 从顶点1开始，到顶点1的最短路有1条
    dis[1] = 0; // 距离为0

    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dis[j] > dis[u] + 1) {
                dis[j] = dis[u] + 1;
                q.push(j);
                cnt[j] = cnt[u];
            } else if (dis[j] == dis[u] + 1)
                cnt[j] = (cnt[j] + cnt[u]) % MOD;
        }
    }
}
int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d %d", &n, &m);
    while (m--) {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    bfs();
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", cnt[i]);
    return 0;
}
```

#### $Dijkstra$解法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 100010, M = 400010;
const int MOD = 100003;

int n, m;
int cnt[N];
int dis[N];
bool st[N];
int h[N], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void dijkstra() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[1] = 0;
    cnt[1] = 1; // 出发点到自己的最短路径有1条，长度是0

    // 小顶堆q
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    q.push({0, 1});

    while (q.size()) {
        auto t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;

        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dis[j] > dis[u] + 1) {
                dis[j] = dis[u] + 1;
                cnt[j] = cnt[u];
                q.push({dis[j], j});
            } else if (dis[j] == dis[u] + 1)
                cnt[j] = (cnt[j] + cnt[u]) % MOD;
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m--) {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    dijkstra();
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", cnt[i]);
    return 0;
}
```


### 三、扩展练习
[$POJ$ - $3463$ $Sightseeing$](http://poj.org/problem?id=3463) 

**最短路计数+ 次短路计数**

**题意**
已知一张图（单向边），起点$S$和终点$F$，求从 $S $到 $F$ 的 **最短路** 和 **比最短路长$1$** 的路径的 **条数之和**。

**分析**
只需要计算出最短路的条数和距离、次短路的距离和条数，最后判断最短路和次短路的关系即可，在$dijkstra$求最短路的基础上，**加一维** 保存从起点到该点的 **最短路** 和 **次短路**，**同时记录相应的数量**

如果当前点的最短路或次短路更新了，那么这个点可能松弛其他点，加入优先队列；如果等于最短路或次短路，相应的数量就加。

关于代码中①②的自我解释：

①：一个点可能被几个点松弛，每松弛一次就入一次队列，那么这个点也会出几次队列，也就会重复松弛后面的点，路径数量就会算重，所以要标记每个点的最短路和次短路是否出队，所以入队时要记录入队的是最短路还是次短路，再者，这个标记本来具有优化作用，这里求数量又多了一层意义，就不能使用其他的优化方式了

②：为什么当前点的次短路更新为当前点的最短路时，还要入队呢？当前点的最短路被松弛时已经入过队了啊，原因很简单，因为每个点入队时都记录了入队的是最短路，还是次短路，再一次更新最短路时，数量也随之更新，而上一次入队的最短路的数量就不再是自己的数量了，而是更新后最短路的数量


```cpp {.line-numbers}
#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define x first
#define y second

const int N = 1e3 + 13;
const int M = 1e6 + 10;
int n, m, u, v, s, f;
// 将最短路扩展为二维，含义：最短路与次短路
// dis:路径长度,cnt：路线数量,st:是否已经出队列
int dis[N][2], cnt[N][2];
bool st[N][2];

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

struct Node {
    // u: 节点号
    // d:目前结点v的路径长度
    // k:是最短路0还是次短路1
    int u, d, k;
    const bool operator<(Node x) const {
        return d > x.d;
    }
};

void dijkrsta() {
    priority_queue<Node> q;        // 默认是大顶堆，通过定义结构体小于号，实现小顶堆。比如：认证的d值更大，谁就更小！
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis); // 清空最小距离与次小距离数组
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);    // 清空最小距离路线个数与次小距离路线个数数组
    memset(st, 0, sizeof st);      // 清空是否出队过数组

    cnt[s][0] = 1; // 起点s，0:最短路，1:有一条
    cnt[s][1] = 0; // 次短路，路线数为0

    dis[s][0] = 0; // 最短路从s出发到s的距离是0
    dis[s][1] = 0; // 次短路从s出发到s的距离是0

    q.push({s, 0, 0}); // 入队列

    while (q.size()) {
        Node x = q.top();
        q.pop();

        int u = x.u, k = x.k; // u:节点号，k:是最短路还是次短路，d:路径长度(这个主要用于堆中排序，不用于实战，实战中可以使用dis[u][k])

        if (st[u][k]) continue; // ① 和dijkstra标准版本一样的，只不过多了一个维度
        st[u][k] = true;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            int dj = dis[u][k] + w[i]; // 原长度+到节点j的边长

            if (dj == dis[j][0]) // 与到j的最短长度相等，则更新路径数量
                cnt[j][0] += cnt[u][k];
            else if (dj < dis[j][0]) { // 找到更小的路线，需要更新
                dis[j][1] = dis[j][0]; // 次短距离被最短距离覆盖
                cnt[j][1] = cnt[j][0]; // 次短个数被最短个数覆盖

                dis[j][0] = dj;        // 更新最短距离
                cnt[j][0] = cnt[u][k]; // 更新最短个数

                q.push({j, dis[j][1], 1}); // ②
                q.push({j, dis[j][0], 0});
            } else if (dj == dis[j][1])    // 如果等于次短
                cnt[j][1] += cnt[u][k];    // 更新次短的方案数，累加
            else if (dj < dis[j][1]) {     // 如果大于最短，小于次短，两者中间
                dis[j][1] = dj;            // 更新次短距离
                cnt[j][1] = cnt[u][k];     // 更新次短方案数
                q.push({j, dis[j][1], 1}); // 次短入队列
            }
        }
    }
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("POJ3463.in", "r", stdin);
    /*
    答案：
    3
    2
    */
#endif
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        memset(h, -1, sizeof h);
        scanf("%d %d", &n, &m);
        while (m--) {
            int a, b, c;
            scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
            add(a, b, c);
        }
        // 起点和终点
        scanf("%d %d", &s, &f);
        // 计算最短路
        dijkrsta();
        // 输出
        printf("%d\n", cnt[f][0] + (dis[f][1] == dis[f][0] + 1 ? cnt[f][1] : 0));
    }
    return 0;
}

```