## [$AcWing$ $343$. 排序](https://www.acwing.com/problem/content/345/)

### 一、题目描述
给定 $n$ 个变量和 $m$ 个不等式。其中 $n$ 小于等于 $26$，变量分别用前 $n$ 的大写英文字母表示。

不等式之间具有传递性，即若 $A>B$ 且 $B>C$，则 $A>C$。

请从前往后遍历每对关系，每次遍历时判断：

* 如果能够确定全部关系且无矛盾，则结束循环，输出确定的次序；
* 如果发生矛盾，则结束循环，输出有矛盾；
* 如果循环结束时没有发生上述两种情况，则输出无定解。

**输入格式**
输入包含多组测试数据。

每组测试数据，第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含一个不等式，不等式全部为 **小于** 关系。

当输入一行 `0 0` 时，表示输入终止。

**输出格式**
每组数据输出一个占一行的结果。

结果可能为下列三种之一：

* 如果可以确定两两之间的关系，则输出 `Sorted sequence determined after t relations: yyy...y.`,其中`t`指 **迭代次数**，`yyy...y`是指 **升序排列** 的所有变量。

* 如果有矛盾，则输出： `Inconsistency found after t relations.`，其中`t`指迭代次数。

* 如果没有矛盾，且不能确定两两之间的关系，则输出 `Sorted sequence cannot be determined.`。

**数据范围**
$2≤n≤26$，变量只可能为大写字母 $A$∼$Z$。

**输入样例$1$**：
```cpp {.line-numbers}
4 6
A<B
A<C
B<C
C<D
B<D
A<B
3 2
A<B
B<A
26 1
A<Z
0 0
```

**输出样例$1$**：
```cpp {.line-numbers}
Sorted sequence determined after 4 relations: ABCD.
Inconsistency found after 2 relations.
Sorted sequence cannot be determined.
```

**输入样例$2$**：
```cpp {.line-numbers}
6 6
A<F
B<D
C<E
F<D
D<E
E<F
0 0
```

**输出样例$2$**：
```cpp {.line-numbers}
Inconsistency found after 6 relations.
```

**输入样例$3$**：
```cpp {.line-numbers}
5 5
A<B
B<C
C<D
D<E
E<A
0 0
```

**输出样例$3$**：
```cpp {.line-numbers}
Sorted sequence determined after 4 relations: ABCDE.
```

### 二、$floyd$ 求传递闭包

**概念**
给定若干对元素和若干对二元关系，并且关系具有传递性，通过传递性推导出尽量多的元素之间关系的问题被称为 **传递闭包**。

>**解释**:比如$a < b,b < c$,就可以推导出$a < c$，如果用图形表示出这种大小关系，就是$a$到$b$有一条有向边 <font color='red' size=4><b>【小的向大的连一条边】</b></font>，$b$到$c$有一条有向边，可以推出$a$可以到达$c$，找出图中各点能够到达点的集合，**类似** 于$floyd$算法求图中任意两点间的最短距离 <font color='red' size=4><b>【魔改版的$floyd$】</b></font>。

**模板**
```cpp {.line-numbers}
//传递闭包
void floyd(){
    for(int k = 0;k < n;k++)
        for(int i = 0;i < n;i++)
            for(int j = 0;j < n;j++)
                f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j];
}
// 原始版本
/*
for (int k = 0; k < n; k++)
   for (int i = 0; i < n; i++)
       for (int j = 0; j < n; j++)
           d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
*/
```

**回到本题**

- 题目描述要求按顺序遍历二元关系，一旦前$i$个二元关系可以确定次序了就不再遍历了，即使第$i + 1$对二元关系就会出现矛盾也不去管它了。
- 题目字母只会在$A$到$Z$间，因此可以映射为$0$到$25$这$26$个元素 
- $A < B$，则$f[0][1]=1$。如果$f[0][1] = f[1][0] = 1$，推出$f[0][0] = 1$，此时$A < B$并且$B < A$发生矛盾，即$f[i][i]= 1$时表示发生矛盾。

**算法步骤**
每读取一对二元关系，就执行一遍$floyd$算法求 **传递闭包**，然后执行$check$函数判断:
* ① 如果发生矛盾终止遍历
* ② 如果次序全部被确定终止遍历
* ③ 两者都没有，继续遍历

在确定所有的次序后，需要 **输出大小关系**，需要一个$getorder$函数。

>**注意**:
终止遍历仅仅是不再针对新增的二元关系去求传递闭包，循环还是要继续的，需要读完数据才能继续读下一组数据。

下面设计$check$函数和$getorder$函数。
```cpp {.line-numbers}
// 1:可以确定两两之间的关系,2:矛盾,3:不能确定两两之间的关系
int check() {
    // 如果i<i，那么就是出现了矛盾
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (f[i][i]) return 2;
    // 存在还没有识别出关系的两个点i,j,还要继续读入
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (!f[i][j] && !f[j][i]) return 3;
    return 1;
}
```
* ① 所有的关系都确定,而且没有发生矛盾
* ② $f[i][i] = 1$ 发生矛盾
* ③ $f[i][j] = f[j][i] = 0$ 表示$i$与$j$之间的大小关系还没有确定下来，需要继续读取下一对二元关系


```cpp {.line-numbers}
string getorder(){
    char s[26];
    for(int i = 0;i < n;i++){
        int cnt = 0;
        for(int j = 0;j < n;j++)  cnt += f[i][j];//有多少个数大于i
        s[n - cnt - 1] = i + 'A';                //反着才能记录下名次
    }
    return string(s,s + n);                      //用char数组构造出string返回
}
```
> **解释**：确定所有元素次序后如何判断元素`i`在第几个位置呢？`f[i][j] = 1`表示`i < j`，因此计算下`i`小于元素的个数`cnt`，就可以判定`i`是第`cnt + 1`大的元素了


#### $Code$ $O(N^3)$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 26;

int n, m;
int g[N][N];
bool st[N];

// 求传递闭包
void floyd() {
    for (int k = 0; k < n; k++)
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                g[i][j] |= g[i][k] && g[k][j];
}

int check() {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (g[i][i]) return 2; // 矛盾

    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (!g[i][j] && !g[j][i]) // 待继续
                return 0;

    return 1; // 找到顺序
}

string getorder() { // 升序输出所有变量
    char s[26];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int cnt = 0;
        // f[i][j] = 1表示i可以到达j (i< j)
        for (int j = 0; j < n; j++) cnt += g[i][j]; // 比i大的有多少个
        // 举个栗子：i=0,表示字符A
        // 比如比i大的有5个，共6个字符：ABCDEF
        //  n - cnt - 1 = 6-5-1 = 0,也就是A放在第一个输出的位置上, 之所以再-1，是因为下标从0开始
        s[n - cnt - 1] = i + 'A';
    }

    //  转s字符数组为字符串
    string res;
    for (int i = 0; i < n; i++) res = res + s[i];
    return res;
}

int main() {
    while (cin >> n >> m, n || m) {
        memset(g, 0, sizeof g); // 邻接矩阵
        int type = 0, t;        // type: 0=还需要继续给出条件 1=找到了顺序  2=存在冲突
        // t:在第几次输入后找到了顺序，不能中间break,因为那样会造成数据无法完成读入，后续的操作无法进行，只能记录下来当时的i
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            char s[5];
            cin >> s;
            int a = s[0] - 'A', b = s[2] - 'A'; // A->0,B->1,...,Z->25完成映射关系

            if (!type) {             // 如果不存在矛盾，就尝试找出大小的顺序
                g[a][b] = 1;         // 有边
                floyd();             // 求传递闭包
                type = check();      // 检查是不是存在矛盾，或者找到了完整的顺序
                if (type > 0) t = i; // 如果找到了顺序,或者发现了矛盾,记录是第几次输入后发现的
            }
            // 即使存在矛盾，也需要继续读入，直到本轮数据读入完成
        }

        if (!type)
            puts("Sorted sequence cannot be determined.");
        else if (type == 2)
            printf("Inconsistency found after %d relations.\n", t);
        else {
            string ans = getorder(); // 输出升序排列的所有变量
            printf("Sorted sequence determined after %d relations: %s.\n", t, ans.c_str());
        }
    }
    return 0;
}
```

### 三、优化版本
$O(N^2)$

其实，由于每次新增加的一对$(a,b)$,只会更新与$a,b$有边连接的点，其它的无关点是没有影响的，如果加上一对$(a,b)$就去全新计算，无疑是存在浪费的，可以优化的。

怎么优化呢？核心思路就是$(a,b)$做为$floyd$算法的中继点即可，其它点不再被遍历做为中继点。

说人话就是：
① 遍历所有节点，找出所有小于$a$的节点$x$,那么$x$一定小于$b$。
② 遍历所有节点，找出所有大于$b$的节点$x$,那么$a$一定小于$x$。
③ 遍历所有节点，如果$x<a$,并且,$b<y$,那么$x<y$

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401031410473.png)

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 26;

int n, m;
bool g[N][N];
bool st[N];

int check() {
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (g[i][i]) return 2; // 矛盾

    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (!g[i][j] && !g[j][i]) // 待继续
                return 0;

    return 1; // 找到顺序
}
string getorder() { // 升序输出所有变量
    char s[26];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int cnt = 0;
        // f[i][j] = 1表示i可以到达j (i< j)
        for (int j = 0; j < n; j++) cnt += g[i][j]; // 比i大的有多少个
        // 举个栗子：i=0,表示字符A
        // 比如比i大的有5个，共6个字符：ABCDEF
        //  n - cnt - 1 = 6-5-1 = 0,也就是A放在第一个输出的位置上, 之所以再-1，是因为下标从0开始
        s[n - cnt - 1] = i + 'A';
    }

    //  转s字符数组为字符串
    string res;
    for (int i = 0; i < n; i++) res = res + s[i];
    return res;
}

int main() {
    while (cin >> n >> m, n || m) {
        memset(g, 0, sizeof g);

        int type = 0, t;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            char str[5];
            cin >> str;
            int a = str[0] - 'A', b = str[2] - 'A';

            // a<b,那么，不需要完全的重新计算完整的传递闭包，只需要把与a,b相关的变更进行记录大小关系即可
            if (!type) {
                g[a][b] = 1;
                for (int x = 0; x < n; x++) {
                    if (g[x][a]) g[x][b] = 1; // 所有比a小的x,一定比b小
                    if (g[b][x]) g[a][x] = 1; // 所有比b大的x,一定比a大
                    for (int y = 0; y < n; y++)
                        if (g[x][a] && g[b][y])
                            g[x][y] = 1;
                }
                type = check();
                if (type) t = i;
            }
        }

        if (!type)
            puts("Sorted sequence cannot be determined.");
        else if (type == 2)
            printf("Inconsistency found after %d relations.\n", t);
        else {
            string ans = getorder(); // 输出升序排列的所有变量
            printf("Sorted sequence determined after %d relations: %s.\n", t, ans.c_str());
        }
    }

    return 0;
}
```