## [$AcWing$ $1140$. 最短网络](https://www.acwing.com/problem/content/1142/)

### 一、题目描述
农夫约翰被选为他们镇的镇长！

他其中一个竞选承诺就是在镇上建立起互联网，并连接到所有的农场。

约翰已经给他的农场安排了一条高速的网络线路，他想把这条线路共享给其他农场。

约翰的农场的编号是$1$，其他农场的编号是 $2$∼$n$。

为了使花费最少，他希望用于连接所有的农场的 **光纤总长度尽可能短**。

你将得到一份各农场之间连接距离的列表，你必须找出能连接所有农场并使所用光纤最短的方案。

**输入格式**
第一行包含一个整数 $n$，表示农场个数。

接下来 $n$ 行，每行包含 $n$ 个整数，输入一个对角线上全是$0$的对称矩阵。
其中第 $x+1$ 行 $y$ 列的整数表示连接农场 $x$ 和农场 $y$ 所需要的光纤长度。

**输出格式**
输出一个整数，表示所需的最小光纤长度。


**数据范围**
$3≤n≤100$
每两个农场间的距离均是非负整数且不超过$100000$。

**输入样例**
```c++
4
0  4  9  21
4  0  8  17
9  8  0  16
21 17 16  0
```
**输出样例**
```c++
28
```
### 二、解题思路
$Prim$算法和$Kruskal$算法都是用于 **求解最小生成树的算法**，但它们的使用场景和应用领域存在一些差异。

#### $Prim$算法
① $Prim$算法是一种贪心算法，基于顶点的方式构建最小生成树。
② $Prim$算法 **适用于稠密图**，即边的数量接近于完全图$(n*(n-1)/2)$的图。
③ $Prim$算法从一个起始顶点开始逐步扩展，直到生成一个包含所有顶点的最小生成树。
④ $Prim$算法的时间复杂度为$O(ElogV)$，对于稠密图有较好的性能。

#### $Kruskal$算法
① $Kruskal$算法是一种基于边的方式构建最小生成树的算法。
② $Kruskal$算法 **适用于稀疏图**，即边的数量远小于完全图$(n*(n-1)/2)$的图。
③ $Kruskal$算法按权值递增的顺序选择边，并通过判断是否构成环来决定是否将边加入最小生成树。
④ $Kruskal$算法的时间复杂度为$O(ElogE)$，对于稀疏图有较好的性能。

#### 总结
总体而言，$Prim$算法适用于稠密图，具有更好的时间复杂度，而$Kruskal$算法适用于稀疏图，具有相对较好的性能。在选择使用哪种算法时，可以根据图的特性和规模来进行选择。


### 三、$Prim$ 算法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int w[N][N]; // 邻接矩阵，记录每两个点之间的距离
int dist[N]; // 每个点距离集合的最小长度
bool st[N];  // 是不是已经加入到集合中

int prim() {
    // 初始化所有节点到集合的距离为正无穷
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0; // 1号节点到集合的距离为0
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 迭代n次
        int t = -1;
        //(1)是不是第一次
        //(2)如果不是第1次那么找出距离最近的那个点j
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        // 最小生成树的距离和增加dist[t]
        res += dist[t];
        // t节点入集合
        st[t] = true;
        // 利用t，拉近其它节点长度
        for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], w[t][j]);
    }

    return res;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    // 完全图，每两个点之间都有距离，不用考虑无解情况
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &w[i][j]);

    // 利用prim算法计算最小生成树
    printf("%d\n", prim());
    return 0;
}
```

### 四、$kruscal$ 算法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;
const int M = 10010;

struct Node { //用结构体存储每条边
    int f, t, w;
    bool operator<(const Node &e) const {
        return w < e.w;
    }
} edges[M];

int p[N];

int find(int x) { //并查集找根节点
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int n, idx, ans;
int main() {
    scanf("%d", &n);

    //邻接矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            int w;
            scanf("%d", &w);
            edges[idx++] = {i, j, w}; //加入当前的边
        }
    sort(edges, edges + idx); //对边权进行排序,注意这里不是优先队列，是谁小谁在前

    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; //并查集初始化
    for (int i = 1; i <= idx; i++) {       //枚举每条边
        int f = find(edges[i].f), t = find(edges[i].t);
        if (f != t) {          //当前两点不连通
            ans += edges[i].w; //更新答案
            p[f] = t;          //让两点变连通
        }
    }
    printf("%d", ans);

    return 0;
}
```