##[$AcWing$ $897$. 最长公共子序列](https://www.acwing.com/problem/content/description/899/)

### 一、题目描述
给定两个长度分别为 $N$ 和 $M$ 的字符串 $A$ 和 $B$，求既是 $A$ 的子序列又是 $B$的子序列的字符串 **长度最长** 是多少。

**输入格式**
第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$。

第二行包含一个长度为 $N$ 的字符串，表示字符串 $A$。

第三行包含一个长度为 $M$ 的字符串，表示字符串 $B$。

字符串均由小写字母构成。

**输出格式**
输出一个整数，表示最大长度。

**数据范围**
$1≤N,M≤1000$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
4 5
acbd
abedc
```
**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
3
```

###  二、$LCS$问题分析
定义$f[i][j]$是$a[]$以$i$结尾，$b[]$以$j$结尾的**最长公共子序列长度**
> 没有说$a[i]$或者$b[j]$一定要出现在最长公共子序列当中！这个最长公共子序列，可能是$a[]$和$b[]$的一些前序组成的，$a[i],b[j]$也可能没有对结果产生贡献。

* 当$a[i]==b[j]$时，看一下两个字符串的前序，发现在少了$a[i],b[j]$后，转化为子问题$f[i-1][j-1]$,问题转化为$$f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$$

* 当$a[i] \neq b[j]$时：
  * 如果$a[i]$不产生贡献，那么把它干掉$f[i-1][j]$
  * 如果$b[j]$不产生贡献，那么把它干掉$f[i][j-1]$
  * 如果两个都没有贡献，那么就是$f[i-1][j-1]$

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### 三、实现代码

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main() {
    // 递推式出现f[i-1][j-1]，如果i,j从0开始会出现负值，所以下标从1开始
    cin >> n >> m >> a + 1 >> b + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (a[i] == b[j])
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
    printf("%d", f[n][m]);
    return 0;
}
```