##[$AcWing$ $896$. 最长上升子序列 II](https://www.acwing.com/problem/content/description/898/)
### 一、题目描述
给定一个长度为 $N$ 的数列，**求数值严格单调递增的子序列的长度最长** 是多少。
**输入格式**
第一行包含整数 $N$。
第二行包含 $N$ 个整数，表示完整序列。
**输出格式**
输出一个整数，表示最大长度。
**数据范围**
$1≤N≤100000$，
$−10^9≤数列中的数≤10^9$
**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
7
3 1 2 1 8 5 6
```
**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
4
```
### 二、贪心+二分优化
#### 1、与朴素版本的区别
> **朴素版本状态表示**：
> - 集合:$f[i]$表示从第一个数字开始算，以 $a[i]$ 结尾 的最长的上升序列长度。
> - 属性：$max$
前一版本：$N≤1000$，本题要求：$N≤100000$
$N$的数据范围大了$100$倍,前一版本动态规划代码的时间复杂度是$O(N^2)$,$1000^2=1000000$，是$1e6$，是可以$1$秒过的，但如果是$100000^2=10000000000$,是$1e10$，超时，需要要优化~
#### 2、贪心+二分算法
>核心思想:
对于同样长度的子串，希望它的末端越小越好，这样后面有更多机会拓展它,才有可能使得数列更长。
> **状态表示**：
> - 集合：$f[i]$表示长度为$i$的递增子序列中，末尾元素最小的是$f[i]$
> - 属性：$min$
**算法步骤**
* 扫描每个原序列中的数字:
* 如果$f$中的最后一个数字$f[idx]$小于当前数字$a[i]$，那么就在$f$的最后面增加$a[i]$
* 如果$a[i]$小于$f[idx]$,在$f$中查找并替换第一个大于等于它元素
**举栗子模拟**
| $arr$ | $3$ | $1$ | $2$ | $1$ | $8$ | $5$ | $6$ |
| ----- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
开始时$f[]$为空，数字$3$进入序列
| $arr$ | $3$ | $1$ | $2$ | $1$ | $8$ | $5$ | $6$ |
| ----- | ---------------------------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $3$ |
| --- | ------------------------------------------ |
$1$ 比 $3$ 小, $3$出序列 ，$1$入序列
| $arr$ | $3$ | $1$ | $2$ | $1$ | $8$ | $5$ | $6$ |
| ----- | --- | ------------------------------ | --- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $1$ |
| --- | ------------------------------------------ |
$2$ 比 $1$ 大,$2$入序列
| $arr$ | $3$ | $1$ | $2$ | $1$ | $8$ | $5$ | $6$ |
| ----- | --- | --- | ----------------------------- | --- | --- | --- | --- |
| $f$ | $1$ | $2$ |
| --- | --- | ------------------------------------------ |
$1$ 比 $2$ 小,在$f$中找到第一个大于等于$1$的位置，并替换掉原来的数字
| $arr$ | $3$ | $1$ | $2$ | $1$ | $8$ | $5$ | $6$ |
| ----- | --- | --- | --- | ---------------------------- | --- | --- | --- |
| $f$ | $1$ | $2$ |
| --- | ------------------------------------------ | --- |
$8$ 比 $2$ 大
| $arr$ | $3$ | $1$ | $2$ | $1$ | $8$ | $5$ | $6$ |
| ----- | --- | --- | --- | --- | ---------------------------- | --- | --- |
| $f$ | $1$ | $2$ | $8$ |
| --- | --- | --- | ------------------------------------------ |
$5$ 比 $8$ 小,在$f$中找到第一个大于等于$5$的数字，并替换掉原来的数字
| $arr$ | $3$ | $1$ | $2$ | $1$ | $8$ | $5$ | $6$ |
| ----- | --- | --- | --- | --- | --- | ---------------------------- | --- |
| $f$ | $1$ | $2$ | $5$ |
| --- | --- | --- | ------------------------------------------ |
$6$ 比 $5$ 大
| $arr$ | $3$ | $1$ | $2$ | $1$ | $8$ | $5$ | $6$ |
| ----- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ------------------------------------------- |
| $f$ | $1$ | $2$ | $5$ | $6$ |
| --- | --- | --- | --- | ------------------------------------------ |
$f$ 的长度$idx$就是最长递增子序列的长度
#### 3、时间复杂度
$$\large O(N*logN)$$
### 四、实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, a[N];
// 数组模拟栈
int f[N], fl;
int main() {
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
// 1、首个元素入栈
f[0] = a[0];
// 2、后续元素开始计算
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (a[i] > f[fl])
f[++fl] = a[i];
else
// 利用STL的二分，在f中查找第一个大于等于a[i]的值，并完成替换
*lower_bound(f, f + fl, a[i]) = a[i];
}
// 栈内元素数量就是答案
printf("%d\n", fl + 1);
return 0;
}
```