## [$AcWing$ $854$. $floyd$ 求最短路](https://www.acwing.com/problem/content/description/856/)

### 一、题目描述
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 $k$ 个询问，每个询问包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示查询从点 $x$ 到点 $y$的最短距离，如果路径不存在，则输出 `impossible`。

数据保证图中不存在负权回路。

**输入格式**
第一行包含三个整数 $n,m,k$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$。

接下来 $k$ 行，每行包含两个整数 $x,y$，表示询问点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离。

**输出格式**
共 $k$ 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 `impossible`。

**数据范围**
$1≤n≤200,1≤k≤n^2,1≤m≤20000$,
图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$。

**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
```

**输出样例：**
```cpp {.line-numbers}
impossible
1
```

### 二、理解和感悟

1. $Floyd$可以求**多源最短路径**，这是其它算法做不到的。
 ![https://cdn.acwing.com/media/article/image/2019/12/13/1833_db6dffa81d-37ff39642fd8f74476ddcd99944d1b4.png](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2019/12/13/1833_db6dffa81d-37ff39642fd8f74476ddcd99944d1b4.png) 

2. $Floyd$**可以处理负权边，但不能处理负权回路**。

3. 核心就是初始化+三重循环，注意顺序是$k-i-j$，不能反了！$Floyd$是有**动态规划**思想的算法。

**原理解析**：
$f[k][i][j]$表示$i$和$j$之间可以通过编号为$1..k$的节点的最短路径
初值$f[0][i][j]$为原图的邻接矩阵

* $i$到$j$不经过$k$这个节点: $f[k][i][j]$可以从$f[k-1][i][j]$转移
* $i$到$j$经过$k$这个节点: 从$f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]$转移

即$f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])$

**然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为$f[k]$只$f[k-1]$与有关。**

**总结**：
一句话，$Floyd$算法的本质是$DP$，而$k$**是$DP$的阶段，因此要写最外面**。



### 三、实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 210;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, k;
int d[N][N];

// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    // floyd初始化
    memset(d, 0x3f, sizeof d);               // 任意两点间距离正无穷
    for (int i = 0; i < N; i++) d[i][i] = 0; // 自己和自己是距离为0的
    // 读入数据
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        d[a][b] = min(d[a][b], c); // 保留最短边.(可能有重边，保留最短边)
    }
    // 调用floyd
    floyd();

    // 处理所有询问
    while (k--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        // 由于有负权边存在所以约大过INF/2也很合理
        if (d[a][b] > INF / 2)
            puts("impossible");
        else
            printf("%d\n", d[a][b]);
    }
    return 0;
}
```