##[$POJ$ $3694$ $Network$](http://poj.org/problem?id=3694)

### 一、题目大意

$n$个点，$m$个边,连通图。

点与点之间通过边连接，如果切断某个边使得有点与其他点连接断开（连通分支增加），则称这种边为 **桥梁**（离散上叫 **割边**）。
接下来有$Q$个操作，每操作一次,也就是 **连接** 某条边后，**输出当前存在的桥梁数量**。

### 二、样例分析

我们看这个

```cpp {.line-numbers}
4 4
1 2
2 1
2 3
1 4
2
1 2
3 4
0 0
```

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230724160504.png)

一开始是图中蓝色部分，其中$1$和$4$之间的边，$2$和$3$之间的边称之为 **桥**，再加入$1\sim 2$边后（绿色），桥还是那俩没变，再加入$4\sim 3$边后，桥的数量为$0$（因为此时你去掉任何一个边，任意两个点都可连接）


### 二、解题思路

- ① 运行一次$Tarjan$，求出哪些边是割边。
- ② 两点连接起来，找这两个点的$LCA$，因为从点$u$到$LCA$再到点$v$再到点$u$，将形成环，里面的割边都会变成不是割边。
- ③ 计数的时候注意，随着新边的加入，有些树边已经被标记了，不再重复计数。


### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int M = 400010;
const int N = 100010;

int bridge[N]; // 某个节点的入边是不是桥,比如 u->v是桥，则记录bridge[v]=1
int p[N];      // 并查集
int bcnt;      // 桥的数量

int n, m;
// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

// Tarjan算法求割边模板
int dfn[N], low[N], ts;
void tarjan(int u, int fa) {
    dfn[u] = low[u] = ++ts;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int v = e[i];
        if (v == fa) continue;

        if (!dfn[v]) {
            p[v] = u;     // 记录v的父节点是u
            tarjan(v, u); // 先搜索子树v
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if (low[v] > dfn[u]) { // 发现割边
                bcnt++;            // 割边数量 +1
                bridge[v] = 1;     // 因为经Tarjan算法缩点后，是一棵树，所以，bridge[v]代表的就是父节点向v的边，也就是u->v的边是割边
            }
        } else
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
}

// 暴力方法找到lca(a,b)
int lca(int a, int b) {
    if (dfn[a] > dfn[b]) swap(a, b); // 利有dfn的物理含义，可以知道a和b的最终生成树中的深度关系

    // 本题与什么缩点没有一毛钱关系，只是在讨论割边。
    // 整体思路就是用Tarjan算法求出割边，然后尝试连接(a,b),如样例的图所示
    // b节点，满足b在a下面就一直向上，直到不能再上，再上就跑到a上面去了为止
    // 对于两个深度的节点a,b,先将a,b对齐到同一高度
    while (dfn[a] < dfn[b]) {
        if (bridge[b]) bcnt--;
        bridge[b] = 0;
        b = p[b];
    }
    // 然后再两个节点一起向上跳，这是为了照顾效率吗？
    while (a != b) {
        if (bridge[a]) bridge[a] = 0, bcnt--; // 如果p[a]->a是割边的话，那么现在因为有了环，将不再是割边
        if (bridge[b]) bridge[b] = 0, bcnt--; // 如果p[b]->b是割边的话，那么现在因为有了环，将不再是割边
        a = p[a], b = p[b];                   // 一路向上
    }

    return a;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("POJ3694.in", "r", stdin);
#endif
    int cas = 0;
    while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        if (n == m && n == 0) break;

        ts = bcnt = 0;
        memset(h, -1, sizeof h);               // 初始化链式前向星
        memset(low, 0, sizeof low);            // 初始化Tarjan算法需要的数组
        memset(dfn, 0, sizeof dfn);            // 初始化Tarjan算法需要的数组
        memset(bridge, 0, sizeof bridge);      // 记录某条边是不是桥
        for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i; // 初始化并查集

        printf("Case %d:\n", ++cas);
        while (m--) {
            int a, b;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            add(a, b), add(b, a);
        }

        // 因为是无向则连通的图，所以所有点必然都连通，也就是从1号点可以到达任意点，
        // 不需要枚举每个点，并且判断dfn[i]==0进行判断
        tarjan(1, 0);

        // q次询问
        int q;
        scanf("%d", &q);
        while (q--) {
            // 添加边，如果边的两端处在不同的点上，求他们的LCA，并且减少桥的数量
            int a, b;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            lca(a, b);
            printf("%d\n", bcnt); // 割边数量
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}
```

### 三、总结
- ① $Tarjan$ 计算割边，可以用`set<int,int> _set` 记录$u->v$是割边；同时，由于$Tarjan$执行边双缩点后，最终是一棵树，所以，也可以用$bridge[v]$来描述$fa[v]->v$这条边是割边，因为树的父节点向子节点只有一条边，记录到$v$身上就可以配合树的遍历找到这条割边。

- ② $Tarjan$ 算法在本质上是一个$dfs$的过程，产生的$dfs$序$dfn[i]$可以理解为$LCA$中的深度概念，配合暴力的$lca$求解办法，不断向上，直到找出$lca(u,v)$

- ③ 为什么本题不将图用$bfs$预处理，然后通过倍增$lca$来求解$lca$呢？
答：因为倍增讲究一个跳字，能多跳不少跳。而本题，割边可能存在于$u \Rightarrow 
lca(u,v) \Rightarrow  v$这条链路上的每一个位置，如果跳过，就无法将每次添加边后环中遇到的割边修改为非割边。只能是一步一步向上，不能跳着走。


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