##[$AcWing$ $8$. 二维费用的背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/8/)

### 一、题目描述
有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包，背包能承受的最大重量是 $M$。

每件物品只能用一次。体积是 $v_i$，重量是 $m_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。

输出最大价值。

**输入格式**
第一行三个整数，$N,V,M$，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,m_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积、重量和价值。

**输出格式**
输出一个整数，表示最大价值。

**数据范围**
$0<N≤1000,0<V,M≤100,0<v_i,m_i≤100,0<w_i≤1000$

**输入样例**
```cpp {.line-numbers}
4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
8
```


### 二、分析
每件物品只能 **用一次** 因此是个 **01背包模型**

费用一共有两个，一个是 **体积**，一个是 **重量**，因此是个 **01背包二维费用问题**

本题是一道裸题，直接上 **闫氏DP分析法**

**闫氏DP分析法**
<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/19/55909_7844bea6d1-IMG_C0D309FBA487-1.jpeg'></center>

初始状态：`f[0][0][0]`

目标状态：`f[n][V][M]`


#### 状态转移方程:

 * 当剩余的空间$j$不能装下当前物品$i$,即$j<v_1$时不能选择$i$物品。
 $f[i,j,k]=f[i−1,j,k]$

 * 当剩余的重量$k$不能装下当前物品$i$,即$k<v_2$时不有选择$i$物品。
 $f[i,j,k]=f[i−1,j,k]$

 * 当$j>=v_1\&\&k>=v_2$时，可以选择要$i$,还是不要$i$。
   * 不要$i$:$f[i,j,k]=f[i−1,j,k]$
   * 要$i$:$f[i,j,k]=f[i−1,j−v_1,k−v_2]+w$


### 三、三维数组解朴素解法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 110;
int n;
int m1, m2;
int f[N][M][M];

int main() {
    cin >> n >> m1 >> m2;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v1, v2, w;
        cin >> v1 >> v2 >> w;
        for (int j = 0; j <= m1; j++)
            for (int k = 0; k <= m2; k++) {
                f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
                if (j >= v1 && k >= v2)
                    f[i][j][k] = max(f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - v1][k - v2] + w);
            }
    }
    printf("%d", f[n][m1][m2]);
    return 0;
}

```

### 四、二维数组空间优化解法

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 110;
int n;
int m1, m2;
int f[M][M];

int main() {
    cin >> n >> m1 >> m2;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v1, v2, w;
        cin >> v1 >> v2 >> w;

        for (int j = m1; j >= v1; j--)
            for (int k = m2; k >= v2; k--)
                f[j][k] = max(f[j - v1][k - v2] + w, f[j][k]);
    }
    printf("%d\n", f[m1][m2]);
    return 0;
}
```