##[$AcWing$ $1021$. 货币系统 ](https://www.acwing.com/problem/content/1023/)

**[【总结】背包问题的至多/恰好/至少](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15847138.html)**

### 一、题目描述
给你一个$n$种面值的货币系统，求组成面值为$m$的货币有多少种方案。

**输入格式**
第一行，包含两个整数$n$和$m$。

接下来$n$行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。

**输出格式**
共一行，包含一个整数，表示方案数。

**数据范围**
$n≤15,m≤3000$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
3 10
1
2
5
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
10
```

### 二、题目解析
本题与上一题买书问题基本一模一样，只是方案数可能很大，需要用`long long`来存储。

**状态表示**
$f[i][j]$: 用前$i$种面值的货币组成面值 **恰好** 为$j$的方案数

**状态转移方程**
$$\large f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-v]$$
边界状态为$f[i][0] = 1$


### 三、实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 20;
const int M = 3010;
int n, m;
LL v[N];
LL f[M];

int main() {
    cin >> n >> m;
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i];
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] += f[j - v[i]];
    }
    printf("%lld\n", f[m]);
    return 0;
}
```

### 四、 重复组合公式

**计算公式**
从$n$个不同的元素每次取出$r$个元素的 **允许重复** 组合总数为:
$$\large F(n,r)=C_{n+r-1}^r$$

**证明**
- **插板法原理**
 考虑这样一个问题：把$10$个苹果分给$3$人，每人至少分$1$个，有多少种分法？
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230629145459.png)

我们这样考虑：把$10$个苹果分给$3$人，我们就要在$9$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_9^{2}$种。如图的插板方式，就是甲分$3$个，乙分$5$个，丙分$2$个。

- **变式$1$**
  将上述问题略加变化：把$10$个苹果分给$3$人，每人可以不分，有多少种分法？

这时我们要向第一种情况转化，可以假设甲、乙、丙三人本来都有苹果，他们都拿一个苹果出来，一起分，这样他们每人就至少要一个苹果了。

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230629145512.png)

我们就要在$9+3=12$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_{12}^2$种。如图的插板方式，就是甲分$3-1=2$个，乙分$8-1=7$个，丙分$2-1=1$个。

- **变式$2$**
  继续深入讨论：把$10$个苹果分给$3$人，甲至少要$2$个，乙至少要$3$个，丙可以不要，有多少种分法？

我们还要向第一种情况转化，可以假设先给甲$1$个、给乙$2$个、而丙自己先拿出来$1$个，这样他们分余下的苹果时，**每人至少要一个苹果就可以了**。
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230629144719.png)

我们就要在$9-3+1=7$个空格里面插入$2$块板，就会分为$3$部分，且每部分都至少$1$个，故有$C_7^2$种。如图的插板方式，就是甲分$3+1=4$个，乙分$2+2=4$个，丙分$3-1=2$个。
> **[高中数学题练习链接](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5OTQ2NzIzNw==&mid=2247498459&idx=1&sn=7309883315d9139a0e70a73e041b2183&chksm=feb6cf51c9c146475e12aab57f88c13f4c33fe214ca1d05a7aaff4f9df4fb257c4ba795f9a94&scene=27)**

回到本题，理解为 **变式$2$**, 每个盒子里可以没有被选择的数字，也就是$0$个,为了适应 **隔板法**,通过构造的办法，我们认为每个盒子先拿出来一个，这样，最起码它最后能有$1$个,也就是$n+r$个小球，此时，可以放隔板的位置就是$n+r-1$个，需要选择的位置数是$r$：
$$\large F(n,r)=C_{n+r-1}^r$$

证毕

**利用公式估算数据范围**
$$\LARGE C_{3000+15-1}^{3000}=C_{3014}^{14}=\frac{3014!}{14!\times 3000!}=\frac{3001\times ... \times 3014}{14!}$$


**最坏的情况**
上面我们的思考和假设，都是 **一样的小球**,也就是对应着所以货币的面额都是$1$,要求组合成价值$3000$的货币,每种货币无个数限制。

由于题目中说了，每种货币的价值并不相同，也就是上面论述的每个盒子里面不能随意放入最多$r$个小球，受每个盒子上限不同的限制。根据公式求出的数值，肯定是大于真实的数值。

按公式计算出的数值,要大于`int`的范围,如果此题数据为最坏情况，那么`long long`也会爆掉。