##[$AcWing$ $1020$. 潜水员](https://www.acwing.com/problem/content/description/1022/)

### 一、题目描述
潜水员为了潜水要使用特殊的装备。

他有一个带$2$种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。

让潜水员下潜的深度需要各种数量的氧和氮。

潜水员有一定数量的气缸。

每个气缸都有重量和气体容量。

潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。

他完成工作所需气缸的总重的 **最低限度** 的是多少？

例如：潜水员有$5$个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：
```cpp {.line-numbers}
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119
```
如果潜水员需要$5$升的氧和$60$升的氮则总重最小为$249$（$1，2$或者$4，5$号气缸）。

你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的 **最低值**。

**输入格式**
第一行有$2$个整数 $m，n$。它们表示氧，氮各自需要的量。

第二行为整数 $k$ 表示气缸的个数。

此后的 $k$ 行，每行包括$a_i，b_i，c_i$，$3$个整数。这些各自是：第 $i$ 个气缸里的氧和氮的容量及气缸重量。

**输出格式**
仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

**数据范围**
$1≤m≤21,1≤n≤79,1≤k≤1000,1≤a_i≤21,1≤b_i≤79,1≤c_i≤800$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
5 60
5
3 36 120
10 25 129
5 50 250
1 45 130
4 20 119
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
249
```

### 二、与普通二维背包费用问题的区别

* 普通的二维背包费用问题
$f(i,j,k)$ 表示从前$i$个物品中选，且花费$1$**不超过**$j$,花费$2$**不超过**$k$的 **最大** 价值

* 潜水员
$f(i,j,k)$ 表示从前$i$个物品中选，且花费$1$**不少于**$j$,花费$2$**不少于**$k$的 **最小** 价值


本题是一个 **二维费用$01$背包问题** ，但和一般的 **二维费用$01$背包问题** 不同

这题要求的是 <font color='red' size=4><b>费用不少于</b></font> 规定条件，因此我们需要对于 **状态的定义** 进行改变

#### 闫氏$DP$分析法
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230629155418.png)


这样分析完，似乎与普通的二维费用背包没有区别！这肯定是不可能的，我们必然是遗漏了些什么！！

<font color='red' size=6><b>考虑$j-v_1<0$,$k-v_2<0$的情况!</b></font>

有普通的二维费用背包问题中，$j,k$是不能进行超载的，超过了背包就太重， 背包就 **漏** 了！

在本题中，是 **可以超载** 的，理解一下超载是什么意思：
> - $j$:氧气还需缺少$j$升
> - $k$:氮气还需缺少$k$升
> 举栗子：$j=2,k=5$,就是氧气还需要$2$升，氮气还需要$5$升，现在出现的某个气瓶，氧气$20$升，氮气$50$升，一个就可以把你的需求满足，那么请问：你还需要氧气多少升、氮气多少升呢？
> **答**：不需要，都可以满足要求了，即$j=0,k=0$,也就是$f[i-1][0][0]+w$,而对于一个无欲无求的$f[i-1][0][0]$自然是等于$0$,也就是$f[i][j][k]=w$

### 三、三维朴素解法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
const int M = 110;
int f[N][M][M];
int n, m1, m2;

//二维费用01背包-不少于维度费用，求最小代价
int main() {
    //注意次序
    scanf("%d %d %d", &m1, &m2, &n);
    //求最小值
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0][0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v1, v2, w;
        scanf("%d %d %d", &v1, &v2, &w);
        for (int j = 0; j <= m1; j++)
            for (int k = 0; k <= m2; k++) {
                //不选择i号物品
                f[i][j][k] = f[i - 1][j][k];
                //分情况讨论

                //物品i加上就够一维使用，此时，只关心二维情况即可
                if (j - v1 < 0 && k - v2 >= 0)
                    f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][0][k - v2] + w);
                //物品i加上就够二维使用，此时，只关心一维情况即可
                else if (j - v1 >= 0 && k - v2 < 0)
                    f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][j - v1][0] + w);
                //如果选择了i号物品，两个维度直接拉满，那么只选择一个i就足够用，它参选的价值是w
                else if (j - v1 < 0 && k - v2 < 0)
                    f[i][j][k] = min(f[i][j][k], w);
                else
                    //正常递推
                    f[i][j][k] = min(f[i][j][k], f[i - 1][j - v1][k - v2] + w);
            }
    }
    printf("%d\n", f[n][m1][m2]);
    return 0;
}
```
### 四、二维解法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 22, M = 80;

int n, m, K;
int f[N][M];

int main() {
    cin >> n >> m >> K;

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;

    while (K--) {
        int v1, v2, w;
        cin >> v1 >> v2 >> w;
        for (int i = n; i >= 0; i--)
            for (int j = m; j >= 0; j--)
                f[i][j] = min(f[i][j], f[max(0, i - v1)][max(0, j - v2)] + w);
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}
```