##[$AcWing$ $1013$. 机器分配](https://www.acwing.com/problem/content/1015/)

### 一、题目描述
总公司拥有 $M$ 台 **相同** 的高效设备，准备分给下属的 $N$ 个分公司。

各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。盈利与分配的设备数量有关。

问：如何分配这$M$台设备才能使国家得到的盈利最大？

求出最大盈利值。

**分配原则**：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数 $M$。

**输入格式**

第一行有两个数，第一个数是分公司数 $N$，第二个数是设备台数 $M$；

接下来是一个 $N×M$的矩阵，矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列的整数表示第 $i$ 个公司分配 $j$ 台机器时的盈利。

**输出格式**

第一行输出最大盈利值；

接下 $N$行，每行有 $2$ 个数，即分公司编号和该分公司获得设备台数。

答案不唯一，输出任意合法方案即可。

**数据范围**

$1≤N≤10,1≤M≤15$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
3 3
30 40 50
20 30 50
20 25 30
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
70
1 1
2 1
3 1
```

### 二、题意理解
**样例解读**：

```cpp {.line-numbers}
3 3
30 40 50
20 30 50
20 25 30
```

$3$个公司，$3$台机器,**机器都是一样的，一样的，记住，一样的**,要不题意理解不明白~

- $1$号公司
  - 得到$1$台机器，$30$元
  - 得到$2$台机器，$40$元
  - 得到$3$台机器，$50$元

- $2$号公司
  - 得到$1$台机器，$20$元   
  - 得到$2$台机器，$30$元
  - 得到$3$台机器，$50$元

- $3$号公司
  - 得到$1$台机器，$20$元
  - 得到$2$台机器，$25$元
  - 得到$3$台机器，$30$元

问，怎么分，使得国家的收益最大？

**答**:$1$号公司得到$1$台机器，$2$号公司得到$1$台机器，$3$号公司得到$1$台机器，就是$30+20+20=70$,此时国家利益最大。


### 三、不同$OJ$此题的差别
两者差别：
* $AcWing$：<font color='red' size=4><b>答案不唯一，输出任意合法方案即可($Special$ $Judge$)</b></font>

* 洛谷: <font color='blue' size=4><b>$P.S.$要求答案的字典序最小</b></font>

尽管本题是多阶段决策的最小字典序最优方案，但是背包都也类似。
下面是卡最小字典序的数据：

```cpp {.line-numbers}
input

2 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

output

2
1 0
2 15
```

**解决办法**
* **$dfs$暴搜法**
$dfs$保证找到最大答案的时候就是字典序最少的，因为我从$1$号-$n$号枚举用的多少机器，用的机器数量也是由少到多。当最后得到答案相等的情况下就不用需要比较字典序了，直接$return$，只有碰到大小不一的时候才更新答案机器数。

* **$dp$+记录路径法**
  * 如果使用$val >  f[i][j]$转移,$f[i][j]$中记录的是第一次找到的最大值，由于输出路径是 **倒序** 输出的，所以打印出来的路径是字典序最大的。
  
  * 如果使用$val >= f[i][j]$转移,$f[i][j]$中记录的是最后一次找到的最大值，由于输出路径是 **倒序** 输出的，所以打印出来的路径是字典序最小的。

>**$Q$:为什么加上等号就是按字典序最小输出呢？**
```cpp {.line-numbers}
for (int k = 1; k <= j; k++) {
    int val = f[i - 1][j - k] + w[i][k];
    if (val >= f[i][j]) {
        f[i][j] = val;
        path[i][j] = k;
    }
}
```
**答**： 奇妙的地方是`f[i-1][j-k]`。
$k$的含义是当前分组中的物品个数，是由小到大的。而这里的计算式是$j-k$,这个东西在$k$前面的符号是负数，也就是$k$越小，值越大，$k$越大，值越小。按个循环逻辑，随着$k$的长大，就会枚举到更小的$j-k$,也就是枚举到更小的字典序。如果没有等号，就是$k$越来越大时，$j-k$越来越小，当价值一样时，越来越小的个数无法更新结果，反之，如果有等号，就是获取到字典序。


### 四、分组背包
本题乍一看很像是 **背包$DP$**，为了转换成 **背包$DP$** 问题，我们需要对里面的一些叙述做出 **等价变换**

**每家公司** 我们可以看一个 **物品组**，又因为 **所有公司** 最终能够被分配的 **机器数量** 是固定的

<font color='red' size=5><b>思路转换</b></font>
<font color='blue' size=4><b>
① 对于分给第$i$个公司的不同机器数量可以分别看作是一个物品组内的物品数量。

② 物品$k$的含义：分给第$i$个公司$k$台机器

③ 物品$k$的体积：因为一个机器算一个，所以体积也是$k$

④ 物品$k$的价值：$w_{k}$

</b></font>

直接上 **分组背包** 的 **闫氏DP分析法**

<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/21/55909_0a17f1d9d2-IMG_40E676992253-1.jpeg'></center>

初始状态 ：$f[0][0]$

目标状态 ：$f[N][M]$

#### 动态规划求状态转移路径
这里我介绍一个从 **图论** 角度思考的方法

**动态规划** 本质是在一个 **拓扑图** 内找 **最短路**

我们可以把每个 **状态**$f[i][j]$看作一个 **点**，**状态的转移** 看作一条 **边**，把 **状态的值** 理解为 **最短路径长**

具体如下图所示：
![](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/21/55909_00c396a1d2-IMG_7F8CDA59DBB8-1.jpeg)

对于 **点** $f[i][j]$ 来说，他的 **最短路径长** 是通过所有到他的 **边** 更新出来的

更新 **最短路** 的 **规则** 因题而已，本题的 **更新规则** 是 
$$\large f(i,j)=max(f(i−1,j−v_i))+w_i$$

最终，我们会把从 **初始状态**（起点）到 **目标状态** （终点）的 **最短路径长** 更新出来

随着这个更新的过程，也就在整个 **图** 中生成了一颗 **最短路径树**

该 **最短路径树** 上 **起点** 到 **终点** 的 **路径** 就是我们要求的 **动态规划的状态转移路径**

如下图所示：
![](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/21/55909_452b37cdd2-IMG_CFEE43CC6F3D-1.jpeg)

那么 **动态规划求状态转移路径** 就变成了在 **拓扑图** 中找 **最短路径** 的问题了

可以直接沿用 **最短路** 输出路径的方法就可以找出 **状态的转移**


**二维数组写法**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 30;

int n, m;
int w[N][N];
int f[N][N];
int path[N][N];

//致敬墨染空大神
void out(int i, int j) {
    if (i == 0) return; //走出界就完事了
    int k = path[i][j];
    out(i - 1, j - k); //利用递推的栈机制，后序输出，太强了~
    printf("%d %d\n", i, k);
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &w[i][j]);

    /*1、原始版本*/
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            path[i][j] = 0;
            for (int k = 1; k <= j; k++) {
                int val = f[i - 1][j - k] + w[i][k];
                if (val >= f[i][j]) {
                    f[i][j] = val;
                    path[i][j] = k;
                }
            }
        }
    /*2、优化一下代码*/
    /*
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            for (int k = 0; k <= j; k++) {
                int val = f[i - 1][j - k] + w[i][k];
                if (val >= f[i][j]) {
                    f[i][j] = val;
                    path[i][j] = k;
                }
            }
        }*/

    //输出最大值
    printf("%d\n", f[n][m]);
    //输出路径
    out(n, m);

    return 0;
}

```
**一维数组写法**

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20;
int f[N];
int w[N];
int path[N][N];

//致敬墨染空大神
void out(int i, int j) {
    if (i == 0) return; //走出界就完事了
    int k = path[i][j];
    out(i - 1, j - k); //利用递推的栈机制，后序输出，太强了~
    printf("%d %d\n", i, k);
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &w[j]);

        for (int j = m; j; j--)
            for (int k = 1; k <= j; k++) {
                int val = f[j - k] + w[k];
                if (val >= f[j]) {
                    f[j] = val;
                    //在状态转移时，记录路径
                    path[i][j] = k;
                }
            }
    }
    //输出结果
    printf("%d\n", f[m]);
    //输出路径
    out(n, m);
    return 0;
}

```

**找最短路的递归写法**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20;

int n, m;
int w[N][N];
int f[N][N];
int a[N], al;

void dfs(int u, int v) {
    if (u == 0) return;
    // 寻找当前状态f[i][j]是从上述哪一个f[i-1][k]状态转移过来的
    for (int i = 0; i <= v; i++) {
        if (f[u - 1][v - i] + w[u][i] == f[u][v]) {
            a[++al] = i;
            dfs(u - 1, v - i);
            return;
        }
    }
}
int main() {
    // input
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> w[i][j];

    // dp
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            for (int k = 0; k <= j; k++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k] + w[i][k]);
    cout << f[n][m] << endl;

    // find path
    dfs(n, m);

    int id = 1;
    for (int i = al; i; i--) cout << id++ << " " << a[i] << endl;
    return 0;
}
```

### 四、深度优先搜索
数据范围比较小，$1<=N<=10,1<=M<=15$,把$m$个机器分配给$n$个公司，暴力遍历所有方案

记录分配方案，如果能更新最优解，顺便更新一下最优解的分配方案

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 11;
const int M = 16;
int n;
int m;
int path[N], res[N];
int w[N][M];
int Max;

// u:第几个公司　s:已经产生的价值 r:剩余的机器数量
void dfs(int u, int s, int r) {
    if (u == n + 1) {
        if (s > Max) {
            Max = s;
            memcpy(res, path, sizeof path);
        }
        return;
    }

    for (int i = 0; i <= r; i++) {
        path[u] = i;
        dfs(u + 1, s + w[u][i], r - i);//给u号公司分配i个机器
        // path[u] = 0;
        //按照回溯法，此处应该写path[u]还原现场，但本题中即使不还原现场，path[u]也会被下一次循环所覆盖，所以这句可以省略掉
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &w[i][j]);

    dfs(1, 0, m);

    printf("%d\n", Max);
    //输出最优答案时的路径
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d %d\n", i, res[i]);
    return 0;
}

```