![](http://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/2023/03/df8cadfe004d592f4dacbce784b24027.png)

- 定角：则做$\triangle BAC$的外接圆
- 既然都有了外接圆，就需要有圆心有半径，设圆心$O$,连接$OA=OB=OC=r$
-  $\because \angle BAC=60^{\circ}$
  $\therefore \angle BOC=120 ^ \circ$
- 从$O$引$BC$垂线$OE$交$BC$于$E$点
  则$\angle EOC=60 ^{\circ},\angle ECO=30 ^{\circ}$  
  
  $\therefore OE=\frac{1}{2}r,EC=\frac{\sqrt{3}}{2}r$

  $\therefore BC=\sqrt{3}r$

  预求$\triangle ABC$的面积最小值，面积表示为
  $\frac{1}{2} BC \times AD$
  其中$AD$为定高，等于$3$,所以$BC$最小，则面积最小。
  也就是$\sqrt{3}r$最小即可，也就是$r$最小。

  $OA+OE>=AE>=AD$
  $\therefore r+\frac{1}{2}r>=3$
  $\therefore r>=2$
  $\therefore BC>=2\sqrt{3}$
  $S=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 3=3\sqrt{3}$