## [$AcWing$ $340$. 通信线路](https://www.acwing.com/problem/content/342/)

### 一、题目描述
在郊区有 $N$ 座通信基站，$P$ 条 **双向** 电缆，第 $i$ 条电缆连接基站 $A_i$ 和 $B_i$。

特别地，**$1$号基站是通信公司的总站** (起点)，**$N$号基站** (终点) 位于一座农场中。

现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 $i$ 条电缆需要花费 $L_i$

电话公司正在举行优惠活动

农产主可以指定一条从 $1$ 号基站到 $N$ 号基站的路径，并指定路径上不超过 $K$ 条电缆，由电话公司 **免费** 提供升级服务

农场主只需要支付在该路径上 **剩余的电缆中**，**升级价格最贵** 的那条电缆的花费即可

求 **至少用多少钱** 可以完成升级


**输入格式**
第 $1$ 行：三个整数 $N，P，K$。

第 $2..P+1$ 行：第 $i+1$ 行包含三个整数 $A_i,B_i,L_i$。

**输出格式**
包含一个整数表示最少花费。

若 $1$ 号基站与 $N$ 号基站之间不存在路径，则输出 $−1$。


**数据范围**
$0≤K<N≤1000,1≤P≤10000,1≤L_i≤1000000$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
5 7 1
1 2 5
3 1 4
2 4 8
3 2 3
5 2 9
3 4 7
4 5 6
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
4
```

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230705095514.png)


### 二、题目解析

#### 理解题意
找一条路径，边权最大的$k$条边忽略，**第$k + 1$大的边权作为该条路径的代价**，**求最小代价**


#### 思考过程 

① 从$1$号点出发，没有路可以到达$n$点, **无解**，输出$-1$

② 如果 **最短路径边数**（**注意：不是路径的加权和**）不超过$k$条，含义：不用花钱就可以升级线路, 输出$0$

③ 上面 ②中给我们提出了一个新概念：**路径边数**，我们知道，如果想计算获取 **路径边数**，常见的办法是设置边权为$1$。 那是不是所有边都设置为边权为$1$呢？好像不行，因为这样的话，那人家还给你修每条路径的钱数就没用上啊，而且你也没有办法求出你的最小支出啊，此路不通。

④ 这就很纠结啊：不设边权为$1$，无法知道路径长度；全设边权为$1$，就会丢失关键信息。只能是设置 **部分** 边权为$1$。

⑤ 那啥样的边权为$1$,啥样的边权为$0$呢？还得用上真实的边权概念！此时，有如下猜想：
> **如果给我$mid$元钱，我有没有办法确定这么多钱能否够完成升级一条线路呢？**
> 这个简单，我们可以视真实边权大于$mid$的设置 **虚拟边权** 为$1$,反之设为$0$
> 然后在这个图上用$Dijkstra$求最短路径，也就是最短路径长度：
>   - 如果最短路径的长度值大于$k$,说明$mid$小了，再调大一点
>   - 如果最短路径的长度值不大于$k$,说明$mid$大了，再调小一点

噢，原来需要 **二分答案**

### 三、$Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1010;  // 1000个点
const int M = 20010; // 10000条，记录无向边需要两倍空间
int idx, h[N], e[M], w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int n;        //点数
int m;        //边数
bool st[N];   //记录是不是在队列中
int k;        //不超过K条电缆，由电话公司免费提供升级服务
int dist[N];  //记录最短距离
// u指的是我们现在选最小花费
bool check(int x) {
    memset(st, false, sizeof st);
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    dist[1] = 0;
    q.push({0, 1});

    while (q.size()) {
        PII t = q.top();
        q.pop();
        int d = t.first, u = t.second;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i], v = w[i] > x; //如果有边比我们现在选的这条边大，那么这条边对方案的贡献为1，反之为0
            if (dist[j] > d + v) {
                dist[j] = d + v;
                q.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
    //如果按上面的方法计算后，n结点没有被松弛操作修改距离，则表示n不可达
    if (dist[n] == INF) {
        puts("-1"); //不可达，直接输出-1
        exit(0);
    }
    return dist[n] <= k; //如果有k+1条边比我们现在这条边大，那么这个升级方案就是不合法的，反之就合法
}
int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m >> k;
    int a, b, c;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    /*这里二分的是直接面对答案设问：最少花费
    依题意，最少花费其实是所有可能的路径中，第k+1条边的花费
    如果某条路径不存在k+1条边(边数小于k+1),此时花费为0
    同时，任意一条边的花费不会大于1e6
    整理一下，这里二分枚举的值其实是0 ~ 1e6*/
    int l = 0, r = 1e6;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid)) // check函数的意义：如果当前花费可以满足要求，那么尝试更小的花费
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    printf("%d\n", l);
    return 0;
}
```