## $AcWing$ $1221$. 四平方和 + 自定义排序（重载<）+二分

[题目传送门](https://www.acwing.com/problem/content/description/1223/)

### 一、题目大意

四平方和定理，又称为 **拉格朗日定理**：

每个正整数都可以表示为至多 $4$ 个正整数的平方和。

如果把 $0$ 包括进去，就正好可以表示为 $4$ 个数的平方和。

比如：
$5=0^2+0^2+1^2+2^2$
$7=1^2+1^2+1^2+2^2$

对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。

要求你对 $4$ 个数排序：

$0 \leqslant  a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$

并对所有的可能表示法按 $a,b,c,d$ 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。

**输入格式**
输入一个正整数 $N$。

**输出格式**
输出$4$个非负整数，按 **从小到大** 排序，中间用空格分开。

**数据范围**
$0<N<5∗10^6$

### 二、暴力解法
```c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//通过了 10/11个数据
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int a = 0; a * a <= n; a++)
        for (int b = a; a * a + b * b <= n; b++)
            for (int c = b; a * a + b * b + c * c <= n; c++) {
                int t = n - a * a - b * b - c * c;
                int d = sqrt(t);
                if (d * d == t) {
                    printf("%d %d %d %d\n", a, b, c, d);
                    return 0;
                }
            }
    return 0;
}
```
暴力 $O(N^3)$
一般对于$C++$里面的代码，$1s$也就运行$10^8$,这个题的最大取到$10^6$，开方$10$的$3$次方，$N$的$3$次方，大概$10^9$的运算次数，肯定会超时。

### 三、二分作法
枚举$c$和$d$，将$c^2+d^2$存至数组中，再枚举$a$和$b$，查找$n−a^2−b^2$是否在数组中出现过。时间复杂度：$O(n^2logn^2)$。

```c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5e6 + 10;
struct Node {
    int c, d, sum;
    bool operator<(const Node &t) const {
        //对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
        //因为这个第一个表示法，使得我们首先需要对sum进行升序排列，如果sum值一样，就需要对c进行升序排列.至于说d,其实无所谓了，因为本题中不可能存在
        // sum一样，c也一样的场景，但也许有的题不行，需要写全排序办法
        if (sum != t.sum) return sum < t.sum;
        if (c != t.c) return c < t.c;
        return d < t.d;
    }
} f[N];

int n;
int idx;

int main() {
    cin >> n;

    //枚举c^2+d^2
    for (int c = 0; c * c <= n; c++)
        for (int d = c; c * c + d * d <= n; d++)
            f[idx++] = {c, d, c * c + d * d};

    //结构体排序
    sort(f, f + idx);

    //枚举a^2+b^2
    for (int a = 0; a * a <= n; a++) {
        for (int b = a; a * a + b * b <= n; b++) {
            int t = n - a * a - b * b;
            int p = lower_bound(f, f + idx, Node{0, 0, t}) - f;

            /*
            结构体+lower_bound需要注意的事项：
            一、结构体中二分查找，需要封装成无用项置0的结构体：
              (1) 把我们需要查找的数封装成一个结构体。然后才可以在结构体重进行查找。即使我们只需要针对某一维进行查找，也需要把整个结构体构造出来。
              (2) 这里我只需要查找第一维，并且我对第一维进行了排序，只有有序数列才可以进行二分，然后在查找的时候，把其他维置零即可。但是必须要封装成一个结构体

            二、最终的结果需要进行判断
              (1)、可能找到，也可能找不到
              (2)、因为lower_bound返回的是数组中第一个大于等于Node{0,0,t}的位置，有三种可能：
                1. 命中，找到sum=t，现在p就是结果位置
                2. 没有命中，返回的是sum>t的第一个位置，这不是我们想要的结果，需要判断一下这样的情况。
                3. 没有命中，返回的是数组外边的一个空地，也是越界了也没有找到大于等于t的第一个位置，这不是我们想要的结果，需要判断一下这样的情况
            */
            if (p < idx && f[p].sum == t) {
                cout << a << ' ' << b << ' ' << f[p].c << ' ' << f[p].d << ' ' << endl;
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}
```

### 四、手写版本二分
```c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5e6 + 10;

struct Node {
    int c, d, sum;
    bool operator<(const Node &t) const {
        if (sum != t.sum) return sum < t.sum;
        if (c != t.c) return c < t.c;
        return d < t.d;
    }
} f[N];

int n;
int idx;

int main() {
    scanf("%d", &n);

    // C预处理出 c^2+d^2
    for (int c = 0; c * c <= n; c++)
        for (int d = c; c * c + d * d <= n; d++)
            f[idx++] = {c, d, c * c + d * d};

    //结构体排序
    sort(f, f + idx);

    //枚举a^2+b^2
    for (int a = 0; a * a <= n; a++) {
        for (int b = a; a * a + b * b <= n; b++) {
            int t = n - a * a - b * b;

            //手写二分模板,左闭右开
            // STL二分缺点:
            // 1、常数较大,速度慢
            // 2、对于结构体二分，需要构造空的Struct,还需要有一些玄学的赋零操作，不推荐
            //结论：全面采用手写二分办法，忘记STL的二分写法
            int l = 0, r = idx;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r) >> 1;
                if (f[mid].sum >= t)
                    r = mid;
                else
                    l = mid + 1;
            }
            if (f[l].sum == t) {
                cout << a << ' ' << b << ' ' << f[l].c << ' ' << f[l].d << ' ' << endl;
                exit(0);
            }
        }
    }
    return 0;
}
```

### 五、$STL$的$Hash$表
```c++
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
#define x first
#define y second

// TLE
// 通过了 8/11个数据
unordered_map<int, PII> _map;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int c = 0; c * c <= n; c++)
        for (int d = c; d * d + c * c <= n; d++) {
            int t = c * c + d * d;
            if (_map.count(t) == 0)
                _map[t] = {c, d};
        }

    for (int a = 0; a * a <= n; a++)
        for (int b = a; b * b + a * a <= n; b++) {
            int t = n - a * a - b * b;
            if (_map.count(t)) {
                printf("%d %d %d %d", a, b, _map[t].x, _map[t].y);
                return 0;
            }
        }
    return 0;
}
```

### 六、桶排+二层循环+对边寻找
```c++
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
/*
用桶计数的思路
*/
// Accepted	134 ms
using namespace std;
const int N = 5e6 + 10;
int n;
int bucket[N];

int main() {
    scanf("%d", &n);

    memset(bucket, -1, sizeof bucket);

    for (int c = 0; c * c <= n / 2; c++)
        for (int d = c; c * c + d * d <= n; d++) {
            int t = c * c + d * d;
            if (t > 5e6) continue;
            if (bucket[t] == -1) bucket[t] = c;
        }

    for (int a = 0; a * a <= n / 4; a++) {
        for (int b = a; a * a + b * b <= n / 3; b++) {
            int t = n - a * a - b * b;
            int c = bucket[t];
            if (bucket[t] == -1 || t > 5e6) continue;
            int d = sqrt(t - c * c);
            printf("%d %d %d %d\n", a, b, c, d);
            exit(0);
        }
    }

    return 0;
}

```