## [$AcWing$ $1174$. 受欢迎的牛](https://www.acwing.com/problem/content/1176/) ### 一、题目描述 每一头牛的愿望就是变成一头最受欢迎的牛。 现在有 $N$ 头牛，编号从 $1$ 到 $N$，给你 $M$ 对整数 $(A,B)$，表示牛 $A$ 认为牛 $B$ 受欢迎。 这种关系是具有传递性的，如果 $A$ 认为 $B$ 受欢迎，$B$ 认为 $C$ 受欢迎，那么牛 $A$ 也认为牛 $C$ 受欢迎。 你的任务是求出有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。 **输入格式** 第一行两个数 $N$,$M$； 接下来 $M$ 行，每行两个数 $A,B$，意思是 $A$ 认为 $B$ 是受欢迎的（给出的信息有可能重复，即有可能出现多个 $A,B$）。 **输出格式** 输出被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的牛的数量。 **数据范围** $1≤N≤10^4,1≤M≤5×10^4$ **输入样例**： ```cpp {.line-numbers} 3 3 1 2 2 1 2 3 ``` **输出样例**： ```cpp {.line-numbers} 1 ``` **样例解释** 只有第三头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。 ### 二、$Tarjan$算法求有向图强连通分量 #### 1. 基础概念 首先了解几个概念：**强连通**，**强连通图**，**强连通分量** * 强连通：在一个有向图$G$中，两个点$a，b$，$a$可以走到$b$，$b$可以走到$a$，我们就说$(a,b)$强连通 * 强连通图：在一个有向图$G$中，任意两个点都是强连通 * 强连通分量：在一个有向图$G$中，有一个子图，它任意两个点都是强连通，我们就说这个子图为强连通分量，**特别的**，**一个点也是一个强连通分量** 如图：
显然可得：$1,2,3,5$ 构成了一个强连通分量（**一个点也是**） **代码实现时的设计** * $dfn[v]$:搜索节点$v$时的时间序 * $low[x]$:以$x$为根的子树中，每个节点中连接的点的时间戳的 **最小值** 初值化:$low[x]=dfn[x]$ #### 2. 有向图的强连通分量用途 主要是通过 **缩点**（将强连通分量缩成一个点），把有向图，转换为 **有向无环图**（拓扑图，$DAG$）。 如下图，左图圈内的是一个强连通分量，通过缩点，转化为右图。这种做法其实有很多应用，比如求最短路等。
#### 3. 算法步骤 - ① 初始化： - 给每个顶点分配一个唯一的标识号 - 初始化一个空栈 - 初始化一个访问标记数组，用于记录每个顶点是否已经被访问 - ② 对于图中的每个未被访问的顶点执行步骤$3$ - ③ 遍历顶点： - 给当前顶点设置一个访问标记并将其压入栈中 - 将当前顶点的访问次序（标记号）和最小后序号（$low$值）都设置为当前最小值 - 遍历当前顶点的所有邻居节点： - 如果邻居节点未被访问，则对邻居节点执行步骤$3$。 - 在递归步骤中，如果邻居节点没有被访问过，将它的父节点设置为当前节点 - 如果邻居节点已经在栈中，更新当前顶点的最小后序号（$low$值） - 如果当前顶点是一个 **根节点**，则弹出栈中从当前顶点开始的所有顶点，并将它们组成一个强连通分量。 - ④ 返回所有的强连通分量 #### 4. 算法实现 ```cpp {.line-numbers} // Tarjan算法求强连通分量 int stk[N], top, in_stk[N]; // stk[N]:堆栈,top:配合堆栈使用的游标top,in_stk[N]:是否在栈内 int dfn[N], ts, low[N]; // dfn[N]:时间戳记录数组，ts:时间戳游标, low[N]:从u开始走所能遍历到的最小时间戳 int id[N], scc_cnt, sz[N]; // id[N]:强连通分量块的编号,scc_cnt:强连通分量的编号游标,sz[i]:编号为i的强连通分量中原来点的个数 void tarjan(int u) { dfn[u] = low[u] = ++ts; // 初始时间戳 stk[++top] = u; // 入栈 in_stk[u] = 1; // 在栈内 for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { int v = e[i]; if (!dfn[v]) { // v未访问过 tarjan(v); // dfs深搜 low[u] = min(low[u], low[v]); // 更新low[u] } else if (in_stk[v]) // v已经栈中,找到强连通分量 low[u] = min(low[u], low[v]); // 更新low[u] } // 发现强连通分量 if (dfn[u] == low[u]) { ++scc_cnt; int x; do { x = stk[top--]; in_stk[x] = 0; id[x] = scc_cnt; // 记录x是缩点后编号为ssc_cnt号强连通分量的一员 sz[scc_cnt]++; // 缩点后编号为ssc_cnt号强连通分量中的成员个数+1 } while (x != u); } } ``` ##### 答疑解惑 ```cpp {.line-numbers} for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { int v = e[i]; if (!dfn[v]) { // v未访问过 tarjan(v); // dfs深搜 low[u] = min(low[u], low[v]); // 更新low[u] } else if (in_stk[v]) // v已经栈中,找到强连通分量 low[u] = min(low[u], low[v]); } ``` 这段代码中的节点$u$和节点$v$可能存在三种情况，分别如下： - ① 节点$v$未被访问过（$!dfn[v]$）：这种情况说明节点$v$是一个未探索的节点，还没有被访问过。在深度优先搜索中，我们需要继续从节点$u$探索到节点$v$。 - ② 节点$v$已经在栈内（$in\_stk[v]$）：这种情况表示节点$v$已经访问过，并且它当前在栈中。这表示节点$v$与节点$u$在同一个强连通分量中，即形成了一个环。 - ③ 节点$v$已被访问过但不在栈内：这种情况发生在节点$v$已经访问过，并且已经出栈。在这种情况下，我们不需要做任何操作，因为节点$v$已经被处理过并且不再对强连通分量的构建产生影响。 ![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/%7Byear%7D/%7Bmonth%7D/%7Bmd5%7D.%7BextName%7D/20230728130909.png) > **注意**：树边，后向边，前向边，都有祖先，后裔的关系，但横叉边没有，$u->v$为横叉边，说明在这棵$DFS$树中，它们不是祖先后裔的关系它们可能是兄弟关系，堂兄弟关系，甚至更远的关系，如果是$dfs$森林的话，$u$和$v$甚至可以在不同的树上 在很多算法中，后向边都是有作用的，但是前向边和横叉边的作用往往被淡化，其实它们没有太大作用,上面的③就是横叉边。 以上三种情况涵盖了节点$u$与节点$v$之间的所有可能情况。根据具体的情况，算法会执行相应的操作，例如继续深度优先搜索、更新$low[u]$值或者识别出一个强连通分量并进行缩点操作。 ### 三、本题思路 题意是找到被其他所有牛都欢迎的牛的数量。在有向图的角度，就是 **所有的点都可以走到当前这个点**。 #### 暴力解法 如果暴力做的话，对于每个点都要$dfs$或者$bfs$，看是否所有点都可以到达该点，做一遍的时间复杂度是$O(n + m)$，那么$n$个点，时间复杂度是$O(n \times (n+m))$,这里的$n$是$1w$，$m$是$5w$，时间限制是$1s$，会超时。 #### 优化解法 如果是拓扑图（有向无环图$DAG$）的话，就好解决了。 >**结论**：**只需要统计出度为$0$的点的数量。如果出度为$0$的点的数量大于等于$2$，那么一定不存在最受欢迎的牛**。 **解释**：有向无环图中，如果有$2$个或$2$个以上的点出度为$0$，那么其中$1$个叶子结点必然有到不了的点，也就是不存在最受欢迎的牛。**画图理解**: ![](https://img-blog.csdnimg.cn/20210331151345925.png?,size_16,color_FFFFFF,t_70) 如果只存在一个出度为$0$的点呢？ ![](https://img-blog.csdnimg.cn/20210331151800693.png?,size_16,color_FFFFFF,t_70) 综上，如果是拓扑图的话，这道题就好做了。实际上，我们可以 **用强连通分量算法将图转换为拓扑图** ！ >**方法**： >① 先求出该图的强连通分量，然后缩点，变成 有向无环图$DAG$,再统计一下每个点的出度即可。 ② 找到出度为$0$的点的数量为$1$的情况，然后统计该点所表示的强连通分量，其中包含多少个点，这里的所有点都可以被其他所有点走到。
### $Code$ ```cpp {.line-numbers} #include using namespace std; const int N = 10010, M = 50010; int n, m; // n个点，m条边 int d[N]; // 记录一下每个强连通分量的出度 // 链式前向星 int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M]; void add(int a, int b, int c = 0) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++; } // Tarjan算法求强连通分量 int stk[N], top, in_stk[N]; // stk[N]:堆栈,top:配合堆栈使用的游标top,in_stk[N]:是否在栈内 int dfn[N], ts, low[N]; // dfn[N]:时间戳记录数组，ts:时间戳游标, low[N]:从u开始走所能遍历到的最小时间戳 int id[N], scc_cnt, sz[N]; // id[N]:强连通分量块的编号,scc_cnt:强连通分量的编号游标,sz[i]:编号为i的强连通分量中原来点的个数 void tarjan(int u) { dfn[u] = low[u] = ++ts; // 初始时间戳 stk[++top] = u; // 入栈 in_stk[u] = 1; // 在栈内 for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { int v = e[i]; if (!dfn[v]) { // v未访问过 tarjan(v); // dfs深搜 low[u] = min(low[u], low[v]); // 更新low[u] } else if (in_stk[v]) // v已经栈中,找到强连通分量 low[u] = min(low[u], dfn[v]); // 更新low[u] } // 发现强连通分量 if (dfn[u] == low[u]) { ++scc_cnt; int x; do { x = stk[top--]; in_stk[x] = 0; id[x] = scc_cnt; // 记录x是缩点后编号为ssc_cnt号强连通分量的一员 sz[scc_cnt]++; // 缩点后编号为ssc_cnt号强连通分量中的成员个数+1 } while (x != u); } } int main() { scanf("%d %d", &n, &m); memset(h, -1, sizeof h); // 初始化邻接表 for (int i = 1; i <= m; i++) { int a, b; scanf("%d %d", &a, &b); add(a, b); } //(1)求强连通分量，缩点 for (int i = 1; i <= n; i++) // 需示枚举每个点出发尝试，否则会出现有的点没有遍历到的情况 if (!dfn[i]) tarjan(i); //(2)缩点后其实就是一个DAG，计算出DAG中每个新节点的出度 for (int u = 1; u <= n; u++) // 枚举原图中每个出边,用法好怪异~ for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { int v = e[i]; // u->v int a = id[u], b = id[v]; // u,v分别在哪个强连通分量中 if (a != b) d[a]++; // a号强连通分量,也可以理解为是缩点后的点号,出度++ } //(3) 出度为0的只能有1个，如果大于1个，就无解，如果正好是一个，返回此强连通分量中结点的个数 int zeros = 0, res = 0; for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++) // 枚举强连通分量块 if (!d[i]) { // 如果出度是0 zeros++; // 出度是0的强连通分量个数+1 res = sz[i]; // 累加此强连通分量中点的个数 if (zeros > 1) { // 如果强连通分量块的数量大于1个，则无解 res = 0; break; } } //(4)求有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的 printf("%d\n", res); return 0; } ```