##[$AcWing$ $877$. 扩展欧几里得算法](https://www.acwing.com/problem/content/description/879/)

### 一、题目描述
给定 $n$ 对正整数 $a_i,b_i$，对于每对数，求出一组 $x_i,y_i$，使其满足 $a_i×x_i+b_i×y_i=gcd(a_i,b_i)$。

**输入格式**

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$。

**输出格式**
输出共 $n$ 行，对于每组 $a_i,b_i$，求出一组满足条件的 $x_i,y_i$，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 $x_i,y_i$ 均可。

**数据范围**
$1≤n≤10^5$
$1≤a_i,b_i≤2×10^9$

**输入样例**
```cpp {.line-numbers}
2
4 6
8 18
```
**输出样例**
```cpp {.line-numbers}
-1 1
-2 1
```

<font color='red' size=4><b>样例理解：
- $2x+3y=1$ 一组可行解：$(-1,1)$  
- $8x+18y=2$ 一组可行解：$(-2,1)$
</b></font>


### 二、[裴蜀定理](https://baike.baidu.com/item/%E8%A3%B4%E8%9C%80%E5%AE%9A%E7%90%86/5186593?fr=aladdin)

#### 裴蜀定理
若$a$,$b$是整数,且$gcd(a,b)=d$，那么:

- 对于任意的整数$x$,$y$,$ax+by$都一定是$d$的倍数

- 一定存在整数$x$,$y$，使$ax+by=d$成立

#### 裴蜀定理推论

$a,b$互质 $\Leftrightarrow $ $gcd(a,b)=1$ $\Leftrightarrow $ 存在整数$x$,$y$,使得$ax+by=1$


#### 举栗子
$2x+y=3$

那么$a=2$,$b=1$,$m=3$,$gcd(2,1)=1$,$3$是$1$的倍数，所以这个方程一定有整数解。

$x=1$,$y=1$就是一个整数解，还可以有$x=-2$,$y=7$也是一组整数解。

<font color='red' size=4><b>注意：如果一个二元一次方程有正整数解，那么不只是一组解</b></font>

####再举栗子
$4x+2y=5$ 
有没有整数解呢？没有，因为$a=4,b=2,m=5,gcd(4,2)=2,5$是除不开$2$的，所以没有整数解!


#### [如何求贝祖数？](https://www.bilibili.com/video/av77974575/)
什么是贝祖数？

比如：$2x+y=3$，那么符合这个等式的$x=1$,$y=1$就是一组 **贝祖数**

可以使用 **扩展欧几里得算法求贝祖数**

**举个栗子**：
求 $104x+40y=8$ ，有没有合适的$x,y$,也就是求贝祖数

通过贝祖定理看一下，它是不是有解： $gcd(104,40)=8$,$8$是$8$的倍数，所以此方程一定有解，那么解是什么呢？

![QQ截图20210301141004.png](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/03/01/64630_d415a5dc7a-QQ截图20210301141004.png) 

**扩展欧几里得算法的推导过程：**

在$exgcd$中，我们实际是求不定方程$ax+by=gcd(a,b)$，并且，我们所返回的值，是这组解$(x，y)$的最大公因数$gcd(x,y)$。

所以我们最后得到的解，要通过$X=x∗k/gcd(a,b)，Y=(k−a∗x)/gcd(a,b)$来进行一个小小的转换，得到一组解

### 算法实现过程证明

#### ($1$)、当 $b=0$时 

$\large ax+by=gcd(a,0)$，也就是:$\large ax=gcd(a,0)=a$,所以$\large x=1$。

那么$y$呢？因为普遍意义上的求贝祖数，一般是指不小于零的一组解，那么不小于$0$的第一个可能$y$值就是:$y=0$,所以，可以将$x=1,y=0$做为一组特解返回，也就是返回了一组**不小于零的贝祖数**。

#### ($2$)、当 $b≠0$时

$\because ax+by=gcd(a,b)$ 【原计算式】

$gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$    【辗转相除法】


$\therefore ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=b\cdot x_0+(a\%b)\cdot y_0$ ① 【变量互换，最终是一致滴~】

$\because a\%b=a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b$ ②【用整除向下取整来描述扣去$a$中所有的$b$,剩下的就是余数】

将②代入①
$\therefore ax+by=bx_0+(a-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot b)\cdot y_0$

$\therefore ax+by=ay_0+b(x_0-⌊\frac{a}{b}⌋\cdot y_0)$

$\therefore x=y_0,y=x_0-⌊\frac{a}{b}⌋y_0$



### 三、实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        int x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    return 0;
}
```

### 四、三者之间的关系

#### 1. 裴蜀定理
- 对于任意一对正整数$a,b$，一定存在非零整数$x,y$使得$ax+by=gcd(a,b)$

- 可以用来判断方程$ax+by=c$是否有解，只要看$c$是否是$gcd(a,b)$的倍数


#### 2. 扩展欧几里得算法
如果方程$ax+by=c$有解，那么扩欧可以求方程$ax+by=gcd(a,b)$一组解($x_0,y_0$)


#### 3.线性同余方程
给定$a,b,m$构造出$x$使得$ax≡b(mod\ m)$成立

$ax≡b(mod\ m)⟺ax=my+b$($y$是整数)

由此可知$ax−my=b$

令$y'=−y$则有$ax+my'=b$

则构造$x$一定使得$ax+my'=b$有解

根据裴蜀定理可知该方程有解的充要条件是$(a,m)|b$

设$d=(a,m)$,若$d∤b$则$x$不存在

若$d|b$，则可以用 **扩展欧几里得算法** 算出$ax+bm=gcd(a,m)=d$的$x_0,y_0$

再将$x_0×\frac{b}{d},y_0×\frac{b}{d}$得到$x$与$y'$