#include using namespace std; /* 举栗子:以下面的小方框个数=3为例,其实是模拟了4个点,8条边,也就是(00,01,10,11)->通过尾部加0或加1->构建边->(000,001,010,011,100,101,110,111)-> 去掉头部第1个->(00,01,10,11) 其中 4=2^2=2(3-1),8=2^3,推广一下,如果下面的小方框个数是n,点数2^(n-1),边是2^n=[0000...0,1111...1]条 题目中要求1<=N<=15,那么我们加大一点范围,就让N=16,但是,由于此时N的含义是边的个数,也就是M=N*2,下面的代码,含糊了N和M的概念,将其都设定为1<<16,这样足够大,并且不超过题目要求 */ const int N = 1 << 16, M = N; int len; int res[N], rl; // 路径记录器 int st[N]; // 某条边是不是出现过了 // 链式前向星 int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M]; void add(int a, int b, int c = 0) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++; } // dfs求有向图欧拉回路 void dfs(int u) { for (int i = h[u]; ~i; i = h[u]) { h[u] = ne[i]; // 套路式删边,优化性能 int id = w[i]; if (st[id]) continue; // 如果id这条边访问过了,那么不需要重复访问 st[id] = 1; // 标记i号边已访问过 dfs(e[i]); // 递归搜索v号点 // cout << "u=" << u << ",v=" << v << "," // << "w[i]=" << w[i] << endl; res[++rl] = id; // 以边的形式记录欧拉路径,i号索引的这条边,它的真实边号为w[i] } } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("HihoCoder1182.in", "r", stdin); #endif int n; scanf("%d", &n); memset(h, -1, sizeof h); /* len的第一层含义 一、现在点是10(二进制表示),对应十进制是就是2号点,现在需要它扩展出边来,当然就是100,101 二、那么,这两条边走向了哪两个节点呢? (1)10->加0->生成边-> 100 ->哪个节点? (2)10->加1->生成边-> 101 ->哪个节点? 其实用人眼看是走到了00和01两个点,也就是去掉最前面的那个数字1就行。 那如何让计算机知道它们走向了哪两个点呢?办法就是取模!就是将边对应的数字对4取模,则最前面的二进制1将被裁掉,只保留最后两位的00和01 那么,这个4是怎么来的呢?其实就是 1<< (n-1)! 总结:我们只要对生成的边对应的十进制数字,对 len= 1<<(n-1) 取模,就可以获得到它走向了哪个点ID */ len = 1 << (n - 1); // len的第二层含义:如果点号从0开始计数,那么,最大的点号也是 1<<(n-1),以n=3为例,四个点就是(0,1,2,3),最大点号 3= (1<<(3-1)) -1 for (int a = 0; a < len; a++) { int c = a << 1 | 1; // 点号,左移一位,尾部添1,以10为例,就是变成 100+1=101,这是一个点到边的变换过程,num是指边号对应的十进制数,比如101=5 int b = c % len; // 再模一下我们精心准备的len,就可以把头部第1位裁掉,得到目标节点号 add(a, b, c); // 从a点出发,到b点去,通过一条边号为num的边.我们把链式前向星魔改了一下,把边权重定义为边的边号 c = a << 1; // 点号,左移一位,尾部添0,以10为例,就是变成 100,这是一个点到边的变换过程,num是指边号对应的十进制数,比如100=4 b = c % len; // 再模一下我们精心准备的len,就可以把头部第1位裁掉,得到目标节点号 add(a, b, c); // 从a点出发,到b点去,通过一条边号为num的边.我们把链式前向星魔改了一下,把边权重定义为边的边号 // 上面这段,配置题解中的图进行理解效果更佳! } /* Q:兹鼓欧拉回路,为啥题意这样的东西能和欧拉回路搞在一起,它们之间有什么联系? 答:根据题解中的图,和上面我们的建边,我们可以理解:所有的点都有两条出边,也都有两条入边!也就是它的出度=2,入度=2 图是连通的(二进制的性质保证了没有孤立点),并且,每个点的出度入度都是偶数,都等于2,这恰好是欧拉回路的充要条件!这才是这两个好基友合并的基础! 既然已经确定题目的类型是欧拉回路,那只要我们求出任意一条欧拉回路就可以了,因为0号点是肯定存在的,(当然,你也可以从任何存在的点号出发,本题说任意一条合理的路径就行),我们 从0号点开始搜索,从深搜的dfs(v)后,在循环内记录边即可。 注意:如果不是记录边,而是记录点的话,需要在深搜dfs(v)后,在循环外记录点才可以,这是差别! */ dfs(0); /* 题目要求:输出 1个长度为2^n的01串,表示一种符合要求的分布方案 理解:将这个串把顺序一个一个进入下面的小方框,就可以获取到所有的数字组合。 那与我们已经记录下来的边有什么关系呢? 以本题的样例答案00010111为例进行解释:(下面的小方框是3个) (1)倒数第1位1下来进入小方框,得到001 (2)倒数第2位1下来进入小方框,得到011 (3)倒数第3位1下来进入小方框,得到111 (4)倒数第4位0下面进入小方框,将最前面的1弹出,得到110 (5)倒数第5位1下面进入小方框,将最前面的1弹出,得到101 (6)倒数第6位0下面进入小方框,将最前面的1弹出,得到010 (7)倒数第7位0下面进入小方框,将最前面的0弹出,得到100 (8)倒数第8位0下面进入小方框,将最前面的0弹出,得到000 将dfs函数中我注释掉的代码放开,可以得到如下的代码运行结果 u=2,v=0,w[i]=4 =(100) u=3,v=2,w[i]=6 =(110) u=3,v=3,w[i]=7 =(111) u=1,v=3,w[i]=3 =(011) u=2,v=1,w[i]=5 =(101) u=1,v=2,w[i]=2 =(010) u=0,v=1,w[i]=1 =(001) u=0,v=0,w[i]=0 =(000) 参考答案:00010111 此时,你会惊奇的发现,只要把得到的结果倒序,并且每次截取最前面一位的数字,拼装起来就是参考答案! Q:为什么会有这么神奇的现象呢? 答:因为是队首出列啊,所以,对于每个路径,当然是只取最前面的那一位了! 也就是把序列倒序来看, 000->被顶出去->0 001->被顶出去->0 010->被顶出去->0 101->被顶出去->1 011->被顶出去->0 111->被顶出去->1 110->被顶出去->1 100->被顶出去->1 Q:怎么样能截取最前面的第一位呢?就不再是取模了,而用除法啦! res[i]/len就是答案!其中len=4,也就是去掉最后两位的意思! */ for (int i = rl; i; i--) printf("%d", res[i] / len); return 0; }